6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
6.1.
Уравнения
-
го порядка, разрешаемые в квадратурах.
I. Уравнение вида
(1)
интегрируется в квадратурах:
,
,…
………………………………………………………………….
. (2)
Формула
(2) дает общее решение уравнения (1).
Преобразуем первый член в формуле (2)
справа. При
он имеет вид
.
Воспользуемся формулой Дирихле
. (3)
Пусть
теперь
:
.
Внутренний двойной интеграл заменим по формуле (3)
.
Теперь снова воспользуемся формулой Дирихле
.
Пусть
для
справедлива формула
.
Тогда получаем
.
Итак,
окончательно имеем для любого натурального
:
. (4)
Это формула Коши. Формула (4) дает частное решение уравнения (1), удовлетворяющее нулевым начальным данным
,
а в совокупности с (2) имеем общее решение.
Если дано уравнение вида
, (5)
то,
разрешив его относительно
,
получим уравнение вида (1), но иногда это
уравнение лишь позволяет выразить
и
как функции некоторого параметра
.
Пусть эти параметрические уравнения
имеют вид
. (6)
По определению
,
т.е. с учетом (6)
,
откуда
,
далее
и т.д. В результате получим
.
Исключив
из последних соотношений
,
получим общий интеграл уравнения (5).
Замечание. Рассматривая (6) как замену переменных, можно воспользоваться формулой Коши (4):
, (7)
где
соответствует
,
а
соответствует
.
Вместо
в (7) подставлено
.
Пример.
.
Полагаем
,
тогда
.
Отсюда
,
т.е.
,
,
,
или
.
Эта
формула вместе с формулой
дает параметрическое представление
общего решения уравнения.
II. Уравнение вида
(8)
также приводится к квадратурам.
Пусть
сначала уравнение (8) разрешено относительно
,
т.е.
. (8а)
Полагая
,
имеем
.
Отсюда получаем
.
Пусть
это соотношение разрешено относительно
,
т.е.
,
тогда
.
В соответствии с предыдущим
.
Если
же уравнение (8) неразрешимо в явном
виде, но можно ввести параметр
,
так, что
, (8б)
то
тогда имеем
,
или
,
т.е.
,
откуда для
получаем
.
Далее, последовательно
,
,
и, наконец,
.
III. Уравнение вида
(9)
сводится к предыдущим случаям.
Положим
,
тогда имеем
. (10)
Если
уравнение (10) разрешено относительно
:
, (10а)
то перепишем его в виде
,
т.е.
,
откуда
.
Теперь
.
Откуда общий интеграл уравнения (10а):
.
Т.к.
,
то полученное выражение принимает вид
,
а это – уравнение вида (5), т.е. оно интегрируется.
Если же уравнение (9) приводится к виду
, (9а)
то действуем следующим образом:
.
Исключая
,
получим
.
Откуда в силу (9а):
,
т.е.
,
т.е.
.
Имея
параметрические представления
,
мы свели задачу к виду (8б).
6.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.
I. Уравнение вида
(11)
заменой
приводится к виду
(11а)
порядка
.
Уравнение
решается в квадратурах (см. выше).
II. Уравнение вида
. (12)
Здесь
полагают:
,
за независимую переменную принимают
.
Тогда
,
.
Легко
доказать методом полной индукции, что
выражается через
.
Подставляя выражения для
в новых переменных в уравнение (12),
получим новое дифференциальное уравнение
- го порядка
,
т.е. порядок уравнения понижен на единицу.
6.2.1. Понижение порядка в однородных уравнениях.
I. Рассмотрим уравнение вида
, (13)
в
котором
- однородная функция от
,
т.е.
(14)
для
любого
,
- порядок однородности.
Из
(14) следует, что если
- решение уравнения (13), то и
- также является решением уравнения
(13).
Введем новую неизвестную функцию при помощи соотношения
. (15)
Тогда
и
вообще
выражается в виде произведения
на выражение, содержащее
и его производные до
- го порядка. Подставим эти выражения в
(13) и учтем (14):
.
Отбрасывая
множитель
,
получим уравнение порядка
:
.
Найдя
,
будем иметь
.
Пример.
-
однородное
уравнение II-го
порядка. Подставляя
,
получим:
,
т.е.
- линейное уравнение. Его решение,
например, методом Даламбера
,
откуда
.
II.
Уравнения, однородные относительно
.
Запишем уравнение (13) в следующем виде
. (16)
Это однородное уравнение, если
(17)
Это
уравнение не изменится, если заменить
на
,
а
на
,
где
- постоянная. Введем новые переменные
при помощи соотношений
.
Тогда
.
Далее,
,
,…
Итак, мы имеем
,
,… (18)
(при
этом
взяты в предположении, что независимая
переменная есть
,
а
- в предположении, что независимая
переменная есть
).
Подставим
(18) в (16), воспользуемся (17) и сократим на
,
тогда получим
.
Мы
получили уравнение
- го порядка, которое явно не содержит
независимую переменную
.
Замена
позволяет понизить его порядок на
единицу.
III. Уравнения, левая часть которых является точной производной.
Пусть в уравнении (13)
,
т.е.
, (19)
тогда каждое решение уравнения (13) является решением дифференциаль-ного уравнения
и обратно. Таким образом, соотношение (19) является первым интегралом уравнения (13), т.е его порядок понижен на единицу.
Пример.
.
Разделим
обе части уравнения на
:
.
Первый интеграл:
,
т.е.
.
Здесь снова, интегрируя, получим
,
т.е.
.
Список литературы
[1] В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1953г.
[2] А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998.
[3] Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965 г.
[4] Р.Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1978г.
[5] Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва-Ижевск: РХД, 2001г.
[6] В.Ф.Филиппов. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1990г.
[7] Сборник задач по математике для ВТУЗов. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. Т.2. М.:Наука, 1995 г.
[8] А.Г.Кюркчан, Н.И.Смирнова. Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.1. М.: МТУСИ, 2007, Ч.2. М.: МТУСИ, 2010.
План УМД 2010-2011 уч. г., п.
Александр Гаврилович Кюркчан
Надежда Ивановна Смирнова