Федеральное агентство связи

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

А.Г. Кюркчан, Н.И. Смирнова

Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.3.

Учебное пособие

Москва 2011

УДК 517.9

Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 3.: Учебное пособие/МТУСИ. – М., 2011 – с.

Предлагаемое учебное пособие предназначено, главным образом, для студентов, обучающихся по специальности «Прикладная математика», но может быть рекомендовано и студентам других специальностей. Оно составлено на основе существующей литературы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, а также - методических разработок авторов. Курс дифференциальных уравнений входит в базовую часть перечня фундаментальных дисциплин образовательного стандарта по специальности «Прикладная математика». Для изучения этой дисциплины необходимы знания математического анализа и линейной алгебры, необходимо также уметь выполнять действия с комплексными числами.

Библиогр. 8 назв.

Рецензенты: д.ф.-м.н., профессор П.К.Суетин, МТУСИ,

д.ф.-м.н., профессор А.П.Анютин, РосНОУ.

Содержание

1. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений 4

1.1. Простейшие типы точек покоя 6

1.2. Замечания по поводу классификации точек покоя 10

1.3. Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами 11

2. Теоремы Ляпунова об устойчивости 12

3. Исследование на устойчивость по первому приближению. 15

4. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 21

4.1. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений 24

4.2. Характеристики 26

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными 28

6. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка 31

Список литературы 39

1. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений.

Исследование реальных явлений или систем обычно проводится при помощи математических модулей, при разработке которых исследование явления упрощается, идеализируется и т.п. При этом весьма важно, как влияют неучтенные факторы на решение.

Пусть некоторое явление или система может быть описана системой дифференциальных уравнений

(1)

с начальными условиями , которые обычно задаются с некоторой погрешностью, т.к. полученное на основе эксперимента.

Если окажется, что сколь угодно малые изменения начальных данных могут сильно изменить решение, то такое решение не имеет никакой ценности, т.к. оно не может описывать изучаемое явление.

Если изменяется на конечном отрезке , то в условиях справедливости теоремы существования и единственности решение непрерывно зависит от начальных значений и, следовательно, при малом изменении начальных значений решение изменится также мало.

Если же может быть сколь угодно большим, то на соответствующие вопросы ответ дает теория устойчивости.

Решение системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для можно подобрать такое , что для всякого решения , той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам

для всех справедливы неравенства

(2)

т.е. близкие по начальным значениям решения остаются близкими при всех .

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенства (2) не выполняются, то решение называется неустойчивым.

Если решение не только устойчиво, но также удовлетворяет условию

(3)

когда , то решение называется асимптотически устойчивым.

Заметим, что из одного условия (3) ещё не следует устойчивости решения .

Пример.

Исследовать на устойчивость решение дифференциального уравнения , определенного начальным условием .

Решение

асимптотически устойчиво, т.к.

при , если , и .

Исследование на устойчивость некоторого решения

системы уравнений

(1)

Может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат.

Действительно, преобразуем систему уравнений (1) к новым переменным

(4)

где – решение системы (1) с начальным условием . Новыми неизвестными функциями являются отклонения “возмущенных” известных функций от функций , определяющих исследуемое на устойчивость решение.

При этом система (1) преобразуется к виду

(5)

или

(5а)

Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению системы (1), в силу зависимости соответствует тривиальное решение , системы (5), удовлетворяющее нулевым начальным условиям , причем исследование на устойчивость решения системы (1) может быть заменено исследованием на устойчивость тривиального решения системы (5), т.е. расположенной в начале координат точки покоя системы уравнений.

Сформулируем условия устойчивости в применении к точке покоя .

Точка покоя системы (5) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого можно подобрать такое, что из неравенства

следует

при .

Иначе: точка покоя устойчива в смысле Ляпунова, если для любого существует , такое, что из неравенства

следует

при , т.е. траектория, начальная точка которой находится в окрестности начала координат, при не выходит за пределы – окрестности начала координат.