4.2. Характеристики

Вернемся к системе дифференциальных уравнений векторных линий

. (11)

Пусть , - два независимых первых интеграла системы (10). Выделим из двухпараметрического семейства векторных линий

, ,

называемых характеристиками уравнения (3) (или (6)), произвольным способом однопараметрическое семейство, устанавливая какую-нибудь (произвольную) непрерывную зависимость между параметрами и . Исключая из системы

, ,

параметры и , получим искомое уравнение векторных поверхностей

, (12)

где – произвольная функция. Тем самым найден общий интеграл квазилинейного уравнения (3), зависящий от произвольной функции.

Если требуется найти не произвольную векторную поверхность поля

,

а поверхность, проходящую через заданную линию, определяемую уравнениями , то функция в (12) будет уже не произвольной, а определится путем исключения переменных из системы уравнений

, ,

которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую мы проводим характеристики, определяемые уравнениями .

Задача станет неопределенной, если заданная линия является характеристикой, т.к. в этом случае эту линию можно включить в различные однопараметрические семейства характеристик и тем самым получить различные интегральные поверхности, проходящие через эту линию.

Таким образом, характеристики – это кривые, через которые проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

Итак, общий интеграл квазилинейного уравнения

, (3)

зависящий от произвольной функции может быть получен следующим образом: интегрируем вспомогательную эквивалентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(4)

и, найдя два независимых первых интеграла этой системы

, ,

получаем искомый интеграл в виде , где – произвольная функция.

Уравнение интегральной поверхности уравнения (3), проходящей через заданную линию , можно найти, если взять функцию не произвольно, а определив функцию путем исключения из уравнений

, ,

в результате чего получим уравнение , и искомым интегралом будет .

Пример 5.

Найти общий интеграл уравнения

.

Вспомогательная система уравнений имеет вид (здесь )

.

Ее первые интегралы: . Общий интеграл: , где – произвольная функция.

Пример 6.

Найти интегральную поверхность уравнения

,

проходящую через кривую .

Интегрируем систему

,

откуда имеем первые интегралы: . Исключаем из уравнений

, .

Получаем , откуда .

Пример 7.

Найти интегральную поверхность того же уравнения, проходящую через окружность

.

Заданная кривая является одной из векторных линий (характеристик), таким образом, задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения , ось которых совпадает с осью . Существует бесконечное множество таких поверхностей, проходящих через заданную окружность, например, параболоиды вращения , , , , сфера и т.д.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными.

Рассмотрим уравнение вида

, (1)

где – заданные функции, непрерывные и дифференцируемые в рассматриваемой области изменения независимых переменных ; – искомая функция. Наряду с уравнением (1) запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

, (2)

которую будем называть соответствующей уравнению (1).

Задачи интегрирования уравнения (1) и системы (2) эквивалентны. Имеет место следующая

Теорема 1. Левая часть любого I-го интеграла системы (2) есть решение уравнения (1); обратно, всякое решение уравнения (1), приравненное произвольной постоянной, дает I-й интеграл системы (2).

Пусть

совокупность независимых I интегралов системы (2).

В пространстве с координатами эта система интегралов определяет - параметрическое семейство линий – характеристик уравнения (1). Докажем сначала первое утверждение теоремы.

Вдоль любой интегральной кривой системы (2) имеем

. (3)

Но вдоль интегральной кривой системы (2) дифференциалы пропорциональны функциям , следовательно, в силу однородности относительно левой части тождеств

дифференциалы могут быть заменены пропорциональными им величинами , при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (2)

. (4)

Интегральные кривые системы (2) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения независимых переменных (в силу теоремы существования), и левая часть (4) не зависит от постоянных и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождество (4) справедливо не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных , а это и означает, что функция является решением исходного уравнения

. (1)

Обратно, пусть некоторая функция обращает уравнение (1) в тождество (во всей области изменения переменных ):

.

Поскольку вдоль любой интегральной кривой системы (2) и пропорциональны, то

,

а, следовательно, вдоль интегральной кривой, а это и значит (в силу теоремы единственности), что есть первый интеграл системы (2) (по определению). Ч.т.д.

Теорема 2. , где – произвольная дифференцируемая функция, - независимые I-е интегралы системы (2), является общим решением уравнения (1), т.е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.

Пусть есть некоторое решение уравнения (1). Докажем, что существует функция такая, что . Так как являются решениями уравнения (1), то

(5)

Эта система в каждой точке x,…,x рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, т.к. по предположению не обращаются в нуль одновременно. Поэтому определитель

тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но это означает, что между функциями имеется функциональная зависимость

. (6)

В силу независимости I-х интегралов системы (2) по крайней мере один из миноров порядка якобиана

вида

отличен от нуля. Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде

.

Ч.т.д.

Пример .

Проинтегрировать уравнение

.

Система уравнений характеристик

имеет следующие независимые первые интегралы

.

Общее решение исходного уравнения имеет, таким образом, следующий вид

и является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.