4. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка

Наиболее общее уравнение с частными производными I порядка с независимыми переменными может быть записано в виде

, (1)

где – заданная функция, - искомая функция, – независимые переменные.

Пример 1.

.

Интегрируя, имеем

,

где - произвольная функция от .

Пример 2.

.

Интегрируя по , получим

,

где - произвольная функция . Интегрируем теперь по :

,

где - произвольная функция от . Окончательно имеем:

,

где

-

произвольная функция.

Из приведенных примеров видно, что общее решение дифференциального уравнения с частными производными I порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения II порядка – от двух произвольных функций.

Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением I порядка в частных производных называется уравнение вида:

. (2)

Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции .

Если , а коэффициенты не зависят от , то уравнение (2) называется линейным однородным.

Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными

, (3)

где непрерывны в некоторой области изменения переменных и не обращаются в нуль одновременно.

Рассмотрим непрерывное векторное поле

.

Векторные линии этого поля (т.е. линии, касательные к которым в каждой точке имеют направление, совпадающее с направлением вектора в той же точке) определяются из условия коллинеарности вектора , направленного по касательной к искомым линиям, и вектора поля :

. (4)

Это система дифференциальных уравнений векторных линий.

Поверхности, составленные из векторных линий, точнее, поверхности целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку с поверхностью, называются векторными поверхностями.

Очевидно, векторные поверхности можно получить, рассматривая множество точек, лежащих на произвольно выбранном непрерывно зависящем от параметра однопараметрическом семействе векторных линий. Векторная поверхность характеризуется тем, что вектор , направленный по нормали к поверхности в любой ее точке, ортогонален вектору поля :

(5)

Если векторная поверхность задана уравнением , то вектор

,

и условие (5) принимает вид:

. (3)

Если же векторная поверхность задана уравнением (неявно), т.е.

,

то условие (5) имеет следующий вид:

. (6)

Следовательно, для нахождения векторных поверхностей надо проинтегрировать квазилинейное уравнение (3) или линейное однородное уравнение (6) в зависимости от того, ищем ли мы уравнение искомых векторных поверхностей в явном или неявном виде.

Т.к. векторные поверхности могут быть составлены из векторных линий, то интегрирование уравнений (3) или (6) сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений векторных линий (4).

4.1. Первые интегралы систем дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

. (7)

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием системы (7), но уже легко интегрирующееся, например, являющееся уравнением вида

)

или уравнением, которое может быть сведено путем замены переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.

Пример 3.

.

Складывая обе части равенств, найдем интегрируемую комбинацию

,

т.е.

,

откуда

.

Вычитая, найдем вторую интегрируемую комбинацию

,

откуда

.

Итак,

, .

Следовательно,

.

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно соотношение

,

связывающее неизвестные функции и независимую переменную; такое соотношение называется первым интегралом системы (7).

Итак, первым интегралом

(8)

системы уравнений (7) называется соотношение, не равное тождественно постоянной, содержащее в левой части независимую переменную и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-нибудь решение системы (7).

Геометрически первый интеграл (8) при фиксированном можно интерпретировать как -мерную поверхность в -мерном пространстве с координатами , обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности.

При переменном получаем семейство непересекающихся поверхностей, состоящих из точек некоторого - параметрического семейства интегральных кривых системы (7).

Если найдено интегрируемых комбинаций, то получаем первых интегралов

(9)

Если все эти интегралы независимы, то есть если хотя бы один из определителей

,

где какие-нибудь функций из , не равен нулю, то из системы (9) можно выразить неизвестных функций через остальные и, подставив в систему (7), понизить ее размер. Если и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из (9).

Пример 4.

где . Умножив первое уравнение на , второе – на , третье – на и складывая, получим

,

т.е. имеем I- й интеграл:

.

Умножим первое уравнение на , второе – на , третье – на и складывая, имеем

.

Откуда получаем следующий I- й интеграл:

.

За исключением случая , когда система интегрируется непосредственно, найденные первые интегралы независимы и, следовательно, можно исключить две неизвестные функции, а для нахождения третьей получим одно уравнение с разделяющимися переменными.

Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметричной форме записи системы уравнений (7):

, (10)

где

=.