2. Теоремы Ляпунова об устойчивости.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

(4)

Теорема 1. Если существует дифференцируемая функция , называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат условиям:

1) , причем лишь при , т.е. функция имеет строгий минимум в начале координат (положительно определенная функция).

2) при , то точка покоя устойчива.

Производная в условии 2) взята вдоль интегральной кривой, т.е. в предположении, что аргументы функции заменены решением системы (4).

При этом

Доказательство. В окрестности начала координат как в окрестности точки строгого минимума поверхности уровня являются замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума – начало координат. Зададим . При достаточно малом поверхность уровня целиком лежит в – окрестности начала координат (точнее, по крайней мере одна замкнутая компонента поверхности лежит в - окрестности начала координат), но не проходит через него, следовательно, можно выбрать такое , что - окрестность начала координат целиком лежит внутри поверхности , причем в этой окрестности . Если начальная точка с координатами выбрана в - окрестности начала координат, т.е. , то при точка траектории, определяемой этими начальными условиями, не может выйти за пределы поверхности уровня , т.к. в силу условия 2) теоремы, функция вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при

Что и требовалось доказать.

Теорема 2 (об асимптотической устойчивости). Если существует дифференцируемая функция Ляпунова , удовлетворяющая в некоторой окрестности начала координат условиям:

1. и имеет строгий минимум в начале координат: ;

2. производная функции , вычисленная вдоль интегральной кривой системы (4)

причем вне сколь угодно малой окрестности начала координат, т.е. при , производная , где , то точка покоя системы (4) асимптотически устойчива.

Доказательство. Так как условия теоремы 1 выполнены, то для любого можно подобрать такое , что траектория, начальная точка которой находится в - окрестности начала координат при не выходит за пределы - окрестности начала координат. Следовательно, вдоль такой траектории при выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция монотонно убывает с возрастанием и ограничена снизу, и вдоль траектории существует предел функции при :

Если , то из условия 1) будет следовать, что , т.е. точка покоя асимптотически устойчива.

Допустим, что , тогда траектория при находится в области , следовательно, вне некоторой – окрестности начала координат, т.е. там, где по условию 2) при . Умножая неравенство на и, интегрируя вдоль траектории в пределах от до , получим

или

При достаточно большом правая часть становится отрицательной, т.е. , что противоречит условию 1). Ч.т.д.

Теорема 3 (Четаева) о неустойчивости.

Если существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая в замкнутой - окрестности начала координат следующим условиям:

1. и в любой окрестности начала координат имеются точки, в которых ;

2. причем лишь при , то точка покоя системы (4) неустойчива.

Доказательство. Начальную точку возьмем на том множестве, где . Т.к. вдоль траектории , то функция вдоль траектории возрастает. Допустим, что траектория не покидает - окрестность начала координат. Тогда умножая неравенство на и интегрируя, имеем

т.е. при функция вдоль траектории неограниченно возрастает, что невозможно, т.к. дифференцируемая в замкнутой области функция ограничена. Таким образом, траектория покидает - окрестность точки покоя, т.е. точка покоя неустойчива. Ч.т.д.

Общего метода построения функции Ляпунова не существует. Часто её можно построить в виде квадратичной формы .

Пример 1.

Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы

Рассмотрим функцию она удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова:

1)

2)

Решение устойчиво.

Вне окрестности начала координат

Следовательно, решение асимптотически устойчиво.

Пример 2.

Исследовать на устойчивость точку покоя системы.

Функция удовлетворяет условиям теоремы Четаева:

1) при ; 2) при , причем при , . Следовательно, точка покоя неустойчива.