1.2. Замечания по поводу классификации точек покоя.

1. Если

то характеристическое уравнение

имеет нулевой корень .

Предположим, что , а . Тогда общее решение системы

(1)

Имеет вид

Исключая , получим семейство параллельных прямых

.

При получаем однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой . Если , то при на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя . Точка покоя устойчива, но асимптотической устойчивости нет. Если же , то траектории – те же, но движение по ним происходит в противоположном направлении – точка покоя неустойчива.

2. Если , то возможны два случая:

1. Общее решение имеет вид – все точки являются точками покоя, т.е. все решения устойчивы.

2. Общее решение имеет вид

,

где – линейные комбинации постоянных и . Точка покоя неустойчива.

Классификация точек покоя тесно связана с классификацией особых точек. Действительно, в рассматриваемом случае система (1), в которой путем исключения могла быть сведена к уравнению

(2)

Интегральные кривые которого совпадают с траекториями движения системы (1). При этом точка покоя системы (1) является особой точкой уравнения (2).

Если оба корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть (случаи а)1); б)1); в)1)), то точка покоя асимптотически устойчива.

Если же хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную действительную часть (случаи а)2); а)3); б)2); в)2)), то точка покоя неустойчива.

1.3. Однородная система линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Для системы n линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(3)

проведенный в предыдущей лекции анализ переносится почти без изменений.

Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы (3) отрицательны, то тривиальное решение асимптотически устойчиво.

В самом деле, частные решения, соответствующие некоторому корню характеристического уравнения, имеют вид

если , и

если , и, наконец, в случае кратных корней – решения того же вида, но ещё умноженные на некоторые многочлены . Очевидно, что все решения такого вида при или (если) стремятся к нулю при не медленнее, чем , где – постоянный множитель, а и больше наибольшей действительной части корней характеристического уравнения. Следовательно, при достаточно большом точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой - окрестности начала координат, попадают в сколь угодно малую - окрестность начала координат, а при – неограниченно приближаются к началу координат, т.е. точка покоя асимптотически устойчива.

Если же хотя бы для одного корня характеристического уравнения , то соответствующее этому корню решение вида или в случае комплексного – его действительная (или мнимая) часть при сколь угодно малых по модулю неограниченно возрастает по модулю при , т.е. точки, расположенные в начальный момент в - окрестности начала координат при возрастании покидают любую заданную - окрестность начала координат, т.е. в этом случае точка покоя системы (3) неустойчива.