1.1. Простейшие типы точек покоя.

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя x=0, y=0 системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

(6)

где

Решение ищем в виде . Тогда имеем характеристическое уравнение

т.е.

а и с точностью до постоянного множителя определяются из одного из уравнений

(7)

Рассмотрим следующие случаи.

а) Корни характеристического уравнения и действительны и различны.

Общее решение имеет вид

где – постоянные, определяемые из уравнений (7) соответственно при и при , а – произвольные постоянные.

При этом возможны следующие случаи.

1. Если , то точка покоя асимптотически устойчива, т.к. из-за множителей и в (8) все точки, находящиеся в начальный момент в любой - окрестности начала координат при достаточно большом переходят в точки, достаточно большом переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой – окрестности начала координат, а при стремятся к началу координат. Точка покоя рассматриваемого типа называется устойчивым узлом.

2. Пусть и . Этот случай переходит в предыдущий при замене на . Следовательно, траектории имеют такой же вид, как и в предыдущем случае, но только точки по траекториям движутся в противоположном направлении. Очевидно, что с возрастанием точки, сколь угодно близкие к началу координат, удаляются из –окрестности начала координат – точка покоя неустойчива в смысле Ляпунова. Такая точка покоя называется неустойчивым узлом.

3. Если , то точка покоя тоже неустойчива, т.к. движущаяся по траектории

(9)

точка при сколь угодно малых значениях с возрастанием выходит из – окрестности начала координат.

В рассматриваемом случае существуют движения, приближающиеся к началу координат, а именно

.

При различных значениях получаем различные движения по одной и той же прямой

. При возрастании точки на этой прямой движутся по направлению к началу координат. Точки траектории (9) движутся с возрастанием по прямой , удаляясь от начала координат. Если же и , то как при , так и при траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом, т.к. траектория в окрестности такой точки напоминают линии уровня в окрестности седловой точки поверхности .

б) Корни характеристического уравнения комплексные.

Общее решение системы (6) в этом случае можно представить в виде

(10)

где – произвольные постоянные, а – некоторые линейные комбинации и . При этом возможны 3 случая:

1)

Множитель , а второй - периодический множитель в соотношении (10) – ограничен. При траектории в силу периодичности вторых множителей в (10) были бы замкнутыми кривыми, окружающими точку покоя . Из-за наличия множителя при замкнутые кривые превращаются в спирали (направление закручивания траекторий определяется по вектору скорости в какой-либо точке ), асимптотически приближающиеся при к началу координат, причем при достаточно большом точки, находившиеся при в любой - окрестности начала координат, попадают в заданную – окрестность точки покоя , а при дальнейшем увеличении стремится к точке покоя. Следовательно, точка покоя асимптотически устойчива – это устойчивый фокус. Фокус отличается от узла тем, что касательная к траектории не стремится к определенному пределу при приближении точки касания к точке покоя.

2)

Этот случай переходит в предыдущий при замене на . Следовательно, траектории имеют тот же вид, что и в предыдущем случае, но движение по ним при возрастании происходит в противоположном направлении (стрелки - от центра). Из-за наличия возрастающего множителя точки, находившиеся в начальный момент сколь угодно близко к началу координат, с возрастанием удаляются из окрестности начала координат. Точка покоя неустойчива – это неустойчивый фокус.

3)

В этом случае траекториями являются, как отмечалось в пункте б)1), замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, называемую в этом случае центром. Центр является устойчивой точкой покоя. Т.к. для данной можно подобрать такое, что замкнутые траектории, начальные точки которых лежат в – окрестности начала координат, не выходят за пределы – окрестности начала координат или, что то же самое, можно подобрать столь малые и , что решения

(11)

будут удовлетворять неравенству

.

Однако асимптотической устойчивости в рассматриваемом случае нет, т.к. и в (11) не стремятся к нулю при .

в) Корни кратные .

1) .

Общее решение имеет вид

причем может быть , но тогда и будут произвольными постоянными, чтобы удовлетворить произвольным начальным условиям.

Из-за наличия множителя при произведение стремятся к нулю при ,

причем при достаточно большом все точки любой – окрестности начала координат попадают в заданную – окрестность начала

координат и, следовательно, точка покоя, асимптотически устойчива. Точка покоя рассматриваемого типа так же, как и в случае а)1) называется вырожденным устойчивым узлом. Этот узел занимает промежуточное положение между узлом а)1) и фокусом б)1), т.к. при сколь угодно малом изменении действительных коэффициентов он может превратится как в устойчивый фокус, так и в устойчивый узел типа а)1), ибо при сколь угодно малом изменении коэффициентов кратный корень может перейти как в пару комплексно сопряженных корней, так и в пару действительных различных корней. Если , то тоже получается устойчивый узел - дикритический узел.

2. Если , то замена на приводит к предыдущему cлучаю, т.е. вид траекторий тот же, но движение происходит в противоположном направлении. В этом случае точка покоя, так же, как и в случае а)2) – неустойчивый узел.

Таким образом, исчерпаны все возможности, возникающие в случае , т.к. при этом характеристическое уравнение

не имеет корней .