Лабораторная работа №5 Работа с массивами

1. Цель работы:

Цель работы – научиться производить расчеты по формулам, завися­щим от большого массива данных.

2. Примеры решения задач

Пример 1

В качестве первого примера простой операции над массивами рассмотрим умножение массива А1:B2 на число 5, Выделите на рабочем листе область, например, D1 :E2, такого же размера, как и массив – множимое (рис. 9),

Рис. 9. Выделение диапазона для ввода результирующего массива

Теперь введите формулу =A1:B2*5, Для этого установите курсор в строке формул и закончите ввод не как обычно нажатием клавиши Enter, а нажатием клавиш Ctrl + Shift + Enter, Таким образом, вы сообщите программе, что необходимо выполнить операцию над массивом, При этом Excel заключит формулу в строке формул в фигурные скобки (рис. 10): { = А1:В2*5}

Рис. 10. Произведение массива на число

При работе с массивами формула действует на все ячейки диапазона, Нельзя изменять отдельные ячейки в операндах формулы, Аналогично мож­но вычислить сумму (разность) массивов (рис. 11).

Рис. 11. Сумма двух массивов

Аналогично можно определить массив, каждый элемент которого связан посредством некоторой функции с соответствующим элементом первоначального массива (рис. 12)

Рис. 12. Вычисление функции от каждого элемента массива.

В Excel имеются специальные встроенные функции для работы с матрицами:

МОБР (MINVERSE) Обратная матрица

МОПРЕД (MDETERM) Определитель матрицы

МУМНОЖ (MMULT) Матричное произведение двух матриц

ТРАНСП (TRANSPOSE) Транспонированная матрица

Во всех случаях при работе с матрицами перед вводом формулы надо выделить область на рабочем листе, куда будет выведен результат вычислений,

Решим в качестве примера систему линейных уравнений с двумя неизвестными, матрица коэффициентов которой записана в ячейки F1:G2, а свободные члены – в ячейки I1:I2 (рис. 13), Для решения этой задачи вспомним, что решение линейной системы АХ = В, где А – матрица коэффициентов, В – столбец (вектор) свободных членов, Х – столбец (вектор) неизвестных, имеет вид Х = А^–1В, где А^–1 – матрица, обратная по отношению к А, Поэтому для решения нашей системы уравнений выделим под вектор решений диапазон К1:К2 и введем в него формулу, как показано на рис. 13.

Рис. 13. Решение системы линейных уравнений.

Решим также систему линейных уравнений А²Х = В, где

Для решения этой системы введем в диапазон ячеек А1:В2 элементы матрицы А, а в диапазон ячейки D1:D2 – элементы столбца свободных членов В, Выберем диапазон Fl:F2, куда поместим элементы вектора решения, и введем следующую формулу:

{= МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(А1:В2;А1:B2));D1 :D2)}

Рассмотрим пример вычисления квадратичной формулы z = X^T АХ, где А – квадратная матрица, введенная в диапазон А1:В2, X – вектор, введенный в диапазон D1:D2, а символ (^Т) обозначает операцию транспонирования, Для вычисления z введем в ячейку F1 (рис. 14) формулу: { = МУМНОЖ(МУМНОЖ(ТРАНСП(D1:D2);A1 :B2);D1 :D2)}

Рис. 14. Нахождение квадратичной формы.

Хотя результатом этой формулы является число, не забудьте для ее ввода нажать клавиши Ctrl + Shift + Enter, Если этого не сделать, в ячейке F1 появится сообщение #ЗНАЧ!

Вычислим теперь значение квадратичной формы z = Y^T А^T АY, где

Для решения этой задачи введем в диапазон ячеек А1:В2 элементы матрицы А, а в диапазон D1:D2 – элементы столбца Y, Для вычисления квадратичной формы введем в ячейку F1 формулу:

{ = МУМНОЖ(ТРАНСП(D1:D2);МУМНОЖ(ТРАНСП(A1:B2);МУМН0Ж(A1:B2;D1:D2)))}

Пример 2

В качестве следующего примера работы с массивами рассмотрим ре­шение системы линейных уравнений методом Гаусса, На рис. 15 приведены результаты решения методом Гаусса следующей системы линейных уравнений:

2х₁ + 3x₂ + 7х₃ + 6х₄ = 1,

Зх₁, + 5x₂ + Зх₃ + x₄ = 3,

5x₁ + 3x₂ + x₃ + 3x₄ = 4,

Зх₁ + 3х₂ + х₃ + 6х₄ = 5

Рис. 15. Пошаговое решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

E33:E36 введены матрица коэффициентов и столбец свободных членов, соответственно, Содержимое ячеек A33:E33 скопировано в ячейки A38:E38, А43:E43 и A48:E48, В диапазон ячеек А39:Е39 введена формула:

{ = A34:E34 – $A$33:$E$33*(A34/$A$33)},

обращающая в нуль коэффициент при x_t во втором уравнении системы. Выделим диапазон А39:A39 и протащим маркер выполнения этого диапазона так, чтобы выполнить диапазон А39:E41, Это обратит в нуль коэффициент при х₁ в третьем и четвертом уравнениях системы, Скопируем значения из диапазона ячеек А39:Е39 в диапазоны A44:E44 и А49:E49, Для копирования значений без формул воспользуйтесь командой Правка, Специальная вставка (Edit, Special Paste) и в открывшемся диалоговом окне Специальная вставка (Special Paste) в группе Вставить (Paste) установите переключатель в положение Значение (Value) (рис. 16),

Рис. 16. Меню: “Специальная вставка”.

В диапазон ячеек А45:Е45 вводим формулу: { = A40:E40 – A$39:$E$39*(B40/$B$39)},

Выделим диапазон A45:E45 и протащим маркер заполнения этого диапазона так, чтобы заполнить диапазон A45:E46, Это обратит в нуль коэффициент при x₂ в третьем и четвертом уравнениях системы, Копируем значения из диапазона ячеек А45:Е45 в диапазон A50:E50, В диапазон ячеек A51:E51 вводим формулу

{ = A46:E46 – $A$45:$E$45*(С46/$С$45)},

которая обращает в нуль коэффициент при х₃ четвертого уравнения системы, Прямая прогонка метода Гаусса завершена, Обратная прогонка заключается в вводе в диапазоны G36:K36, G35:K35,G34:K34 и G33:K33, соответственно, следующих формул:

{ = A51:E51/D51)

{ = ( A50 : E50 – G36 : K36 * D50 ) / С50}

{ = (A49:E49 – G36 : K36* D49 – G35 : K35 * С49) / B49}

{ = ( A48 : E48 – G36 : K36 * D48 – G35 : K35* С48 – G34 : K34 * B48) / A48}

В диапазоне ячеек K33:К36 получено решение системы.