8. Композиция двух соответствий

Пусть Г=(G, А, В) и S=(R, B, C) – соответствия.

Композицией графиков R и G называется график R∘G={(x,z): yB и (x,y)G и (y,z)R}. При этом область значений графика G является областью определения графика R, т.е. пр₂ G = пр₁ R. Композицией соответствий S и Г называется соответствие S∘Г=(R∘G, А, С).

При этом область прибытия Г является областью отправления S. Иными словами, под композицией понимают последовательное применение двух соответствий: сначала соответствия Г к элементам множества А, а затем соответствия S к значениям Г.

Свойства композиции.

Следующие свойства справедливы как для композиции графиков, так и для композиции соответствий с этими графиками. Пусть Г=(G, А, В), S=(R, B, C) и Р=(Т, D, A) – соответствия.

1) (R∘G)^-1= G^‑1∘R^‑1

Доказательство: рассмотрим произвольную пару (z,x)(R∘G)^-1. Тогда по определению обратного графика (x,z)R∘G, и по определению композиции yB и (x,y)G и (y,z)R. Отсюда по определению обратного графика yB и (y,x)G^‑1 и (z,y)R^‑1 или, что то же самое: yB и (z,y)R^‑1 и (y,x)G^‑1. Отсюда по определению композиции следует (z,x)G^‑1∘R^‑1. Аналогично можно показать, что любая пара (z,x) из G^‑1∘R^‑1 принадлежит также и (R∘G)^-1. Отсюда следует: (R∘G)^-1= G^‑1∘R^‑1 .

2) (R∘G) ∘T = R∘ (G∘T)

Доказательство: рассмотрим произвольную пару (x,z)(R∘G) ∘T. Тогда по определению композиции yA и (x,y)T и (y,z)(R∘G), отсюда yA и (x,y)T и tB и (y,t)G и (t,z)R . Последнее равносильно тому, что tB и (yA и (x,y)T и (y,t)G ) и (t,z)R, поэтому tB и (x,t)(G∘T) и (t,z)R, следовательно, (x,z)R∘(G∘T). Аналогично можно показать, что для любой пары (x,z)R∘(G∘T) выполняется также: (x,z)(R∘G) ∘T.

3) (R∘G)(A) = R(G(A))

Доказательство: рассмотрим произвольный элемент z(R∘G)(A), т.е. z является образом некоторого элемента хA или, что то же самое, xA и z=(R∘G)(x) или (x,z)(R∘G). Поэтому xA и yB и (x,y)G и (y,z)R (по определению композиции). Таким образом, z=R(y) и y=G(x) и, следовательно, xA и z=R(G(x)) или zR(G(A)). Далее для завершения доказательства все рассуждения проводим в обратном порядке.

График вида _А={(x,x): xA} называется диагональю АА.

Очевидно, пр₁_А=пр₂_А=А. Соответствие _А=(_А, А, А) называется тождественным соответствием для А. Очевидно, _А^-1=_А, и Г∘_А = _В∘Г = Г, где _В=(_В, В, В) и Г=(G, A, B).

Пример:

Даны множества А={Иван, Жанн, Билл}, В={рус, англ, фр} и C={0, 1, 2}. И графики G={(Иван, рус); (Иван, англ); (Жанн, фр); (Жанн, англ); (Билл, англ)} и R={(рус, 0); (англ, 1); (фр, 2)} соответствий Г=(G, А, В) и S=(R, B, C). Тогда композицией соответствий S и Г будет соответствие S∘Г=(R∘G, А, С) между множествами А и С с графиком R∘G={(Иван, 0); (Иван, 2); (Жанн, 1); (Жанн, 2); (Билл, 2)}

9. Отображения и функции

Соответствие f=(G, А, В) называется однозначным, если для всякого элемента xпр₁G существует не более одного (а может быть и вовсе ни одного) значения yпр₂G. Всюду определенное и однозначное соответствие называется функцией или отображением множества А в множество В. Если А и В числовые множества, то функция называется числовой.

Для отображений чаще используются обозначения вида: f :  или . Пару (х, у) G чаще обозначают y = f(x), и поскольку отображение – это частный случай соответствия, то определены все ранее введенные понятия: образа и прообраза для элементов и множеств, области определения и области значений отображения (или функции), а также понятия композиции отображений, обратного отображения, тождественного отображения, симметричного отображения.

Отображение (функция) называется постоянным, если  х_  х_  следует f(x₁) = f(x₂). Элемент х называется неподвижной точкой отображения, если f(x) = x.

Отображение f : AB называется инъективным или взаимно-однозначным отображением множества А в В, если для  х_  х_   f(x₁)  f(x₂). Т.е. каждый образ имеет только один прообраз. Подчеркнем, что не все элементы множества В обязаны иметь прообраз (должны быть чьими-нибудь образами).

Отображение называется сюрьективным (или сюрьекцией или отображением множества А на множество В), если f(A) = B или  yB xA (один или несколько) и y=f(x), т.е. все элементы множества В являются чьими-нибудь образами (имеют по крайней мере один прообраз).

Отображение называется биективным (биекцией или взаимно однозначным отображением A на B), если оно одновременно инъективно и сурьективно.

Пример:

Сos: [0; ]  ℝ – инъективное отображение.

Сos: ℝ  [-1; 1] – сюрьективное, но не инъективное отображение.

Сos: [- ; 0]  [-1; 1] – биективное отображение.

Сos: ℝ  ℝ – не сюрьективное и не инъективное отображение.

Биекция множества A на А называется подстановкой множества A. Тождественное отображение I_A(x)=x, где xA, является частным случаем подстановки.

Утверждение: 1) Если f : AВ и g : ВС – две функции, то g ∘ f: A→C – тоже является функцией.

Действительно, т.к. композиция – это последовательное применение отображений, то для произвольного элемента xA с помощью функции f можно получить не более одного элемента y=f(x) B. В свою очередь, для элемента yB с помощью функции g можно получить не более одного элемента z=g(y)C. Тем самым, для каждого xA с помощью (g∘f) можно получить не более одного элемента zC, следовательно, (g∘f) – функция и (g∘f)(x)= g(f(x)).

2) Пусть f : AВ – функция. Для того, чтобы f ^‑1: ВА было функцией, необходимо и достаточно, чтобы f было биективным отображением. В этом случае f ^–1 называется отображением, обратным к f, или обратной функцией. При этом f ^‑1 – биективно, f ^‑1∘ f =I_A – тождественное отображение А и f ∘ f ^‑1 =I_B – тождественное отображение В.

Отображение f : AВ называется обратимым слева (справа), если существует отображение f_Л^‑1: ВА ( f_П^‑1: ВА ) такое, что f _Л^‑1∘ f =I_A ( f ∘ f _П^‑1 =I_B ).

Критерий обратимости слева (справа)

Для того, чтобы отображение f : AВ было обратимым слева (справа), необходимо и достаточно чтобы оно было инъективным (сюрьективным).

Примеры отображений:

1) Пусть f(x) = x²+1 и g(x) = 2–x – две числовые функции, определенные на множестве ℝ. Тогда область значений f(x) – это множество B={xℝ: x1}, а g(x) – множество ℝ. Отображение f:ℝB – сюрьекция, а g:ℝℝ – биекция. Композиция (g∘f )(х)=g(f (х)) = 2–( x²+1) = 1– x²; (f ∘g)(х) =f (g(х)) =(2–x)²+1 = 5–4x+ x². Обратное отображение g ^–1(х)= 2–x, т.е. g(x) – симметричная функция. И (g ∘ g^-1)(х) = (g ^-1∘ g )(x) = х. Отображение f(x) не имеет обратной функции, но обратимо справа, как сюрьекция. При этом f_П1^‑1(х)= или f_П2^‑1(х)=, где xB и имеются в виду только положительные значения корня. Для каждого из f_Пk^‑1(х) (k=1,2) композиция (f ∘ f_Пk^‑1)(х)=I_B(x)=x.

Образ х=2 для f(x) = f(2) =5; для g(x) = g(2) = 0.

Если множество А=[-1; 2], то образ f (A) = [1; 5] и g(A) = [0; 3]

Уравнение f(x) = x не имеет корней, поэтому f(x) не имеет неподвижных точек. Неподвижной точкой g(x) является x = 1.

2) Пусть f и g: ℝ² ℝ² осуществляет параллельные переносы всех точек плоскости, причем f переносит каждую точку на 2 единицы вправо (на восток), а g на 2 единицы вверх (на север). Тогда f ^–1 переносит каждую точку плоскости на 2 единицы влево (на запад), а g^‑1– на 2 единицы вниз (на юг). Композиция f ∘ g – осуществляет параллельный перенос каждой точки к северо-востоку на 2 ед., аналогично g ∘ f то же самое. А (f ∘ g)^-1 и (g ∘ f )^-1 переносят точки к юго-западу на 2 ед.. Композиции f ∘ f ^–1 и g ∘ g^-1 оставляют каждую точку плоскости на месте. Оба отображения биективны.

3) «Подобие плоскости» – это функция f : ℝ² ℝ², изменяющая все длины в одно и то же число раз = r>0, где длины измеряются относительно некоторой фиксированной точки плоскости zℝ², обычно это точка с координатами (0,0). Тогда при r>1 функция f задает растяжение, а при r<1 – сжатие с центром z. Эта функция взаимно-однозначна. Отображение f ^–1, обратное к растяжению с коэффициентом r>1, есть сжатие с коэффициентом 1/r и тем же центром.

4) Пусть A={1, 2, 3, 4} и f и g – две подстановки множества A. Запишем каждую подстановку в виде двух строк, где в первой строке перечислим элементы множества A, а во второй – соответствующие им элементы f(a_i) и g(a_i): и – такая запись подстановок является традиционной.

Тогда , , , и ,   , и, наконец, – тождественная подстановка множества A.

5) «Стереографическая проекция». Рассмотрим отображение f : Aℝ², где Аℝ³ – сфера без северного полюса N, ℝ² – плоскость, параллельная экватору и касающаяся сферы в точке S. Каждой точке х сферы (за исключением N) функция f ставит в соответствие точку плоскости у, в которой луч Nx пересекает плоскость. См. рис.7. Тогда:

а) образом произвольной параллели сферы будет окружность с центром в точке S, образ экватора – окружность вдвое большего радиуса, чем сфера;

б) образом произвольного меридиана будет прямая, проходящая через S;

в) прообраз произвольного луча из S есть полуокружность, проходящая через S и N, за исключением точки N;

г) прообразом произвольного прямолинейного отрезка на плоскости является дуга некоторой окружности, по которой плоскость, проходящая через N и отрезок, пересекает сферу.