5. Подгруппы

Непустое подмножество Н элементов группы G называется подгруппой, если оно само образует группу относительно действия в G.

Из этого определения следует, что для любых элементов a, bH результат действия (a _ b) также принадлежит Н, нейтральный элемент eH является также нейтральным и в группе G. И, в силу единственности обратного элемента в группе, ясно, что обратный элемент для любого элемента h из Н будет обратным для h также во всей группе G.

1. (О подгруппе) Непустое подмножество Н группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда 1) для любых элементов a, bH результат действия (a _ b) также принадлежит Н; и 2) для любого элемента hН обратный элемент h^–1 также принадлежит Н.

Доказательство. Необходимость следует из определения подгруппы.

Для доказательства достаточности покажем, что нейтральный элемент группы принадлежит подмножеству Н, т.е. еН. Т.к. по пункту 2 для любого элемента аН  а^‑1Н, то по пункту 1 результат (а_а^‑1)Н, но (а_а^‑1) =е – нейтральный элемент группы. Таким образом, еН, что и требовалось доказать. И, следовательно, Н – подгруппа G. (Ассоциативность действия переходит автоматически с G на Н).

Примеры подгрупп:

1) Аддитивная группа четных чисел является подгруппой группы ( ℤ , + ) целых чисел по сложению, последняя в свою очередь является подгруппой группы ( ℚ , + ) рациональных чисел по сложению, которая в свою очередь является подгруппой группы ( ℝ , + ) вещественных чисел по сложению. Все аддитивные группы чисел являются подгруппами группы комплексных чисел по сложению.

2) Мультипликативная группа ( ℝ ^>0,  ) положительных вещественных чисел по умножению является подгруппой мультипликативной группы ( ℝ \ {0}, ) вещественных чисел без нуля и не является подгруппой ( ℝ ,+ ), т.к. у них разные нейтральные элементы.

3) Подмножество {e} является подгруппой любой группы. Сама группа также является одной из своих подгрупп.

4) Пересечение любого числа подгрупп группы G является подгруппой группы G.

5) Множество поворотов правильного n‑угольника вокруг центра на угол , где k=0,1,2,…– является подгруппой группы подстановок S_n и называется группой самосовмещений.

6. Конечные группы

Группа (полугруппа) называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком. Любая подгруппа конечной группы конечна. И если НG – подгруппа группы G, то для любого элемента аG множество Н_а={х: x=h◦a, для любых hH} называется левым классом смежности для G относительно Н. Понятно, что число элементов в Н_а равно порядку Н. (Аналогично можно сформулировать определение _аН – правого класса смежности относительно Н).

Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся левых (правых) классов смежности по Н.

Действительно, если два класса Н_a и H_b, где a, bG, имеют общий элемент х, то существует tH такое, что x = t◦a. И тогда левый класс для х: Н_х={y: y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} H_a, но a= t^‑1◦x и Н_a={y: y=h◦a= h◦(t^‑1◦x) = (h◦t^‑1)◦x} H_x. Отсюда Н_х = Н_a. Аналогично можно показать, что Н_х = Н_b. И, следовательно, Н_a = Н_b. Если же классы Н_a и H_b не имеют общих элементов, то они и не пересекаются.

Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется разложением группы по подгруппе Н.

1. Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Доказательство. Так как G – конечная группа, то и любая её подгруппа Н имеет конечный порядок. Рассмотрим разложение группы по подгруппе Н. В каждом классе смежности в этом разложении число элементов одинаково и равно порядку Н. Поэтому, если n – порядок группы G, а k – порядок подгруппы Н, то n=mk, где m – число классов смежности по Н в разложении группы G.

Если для любого элемента aG  Н_a = _аН (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем группы G.

Утверждение: если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н является нормальным делителем G.