Федеральное агентство по образованию

Волжский политехнический институт (филиал)

Волгоградского государственного технического университета

Н. Д. Бовда

Дискретная математика

Курс лекций

Часть I

Учебное пособие

РПК «Политехник»

Волгоград 2005

УДК 519.1

Рецензенты:

Заместитель директора по научной работе ВГИ ВолГУ

доктор физ.-мат. наук, профессор В.В.Горяйнов

Зав.кафедрой прикладной математики и информатики ВГИ ВолГУ

доктор техн. наук, доцент И.Ю.Мирецкий

Бовда Н. Д.

ДИСКРЕТНая МАТЕМАТИКа. Курс лекций. Часть I. Учебное пособие / ВолгГТУ – Волгоград, 2005г. -96 с.

ISBN 5-230-

Содержит теоретические сведения по темам: множества, алгебраические действия общего типа и простейшие алгебраические системы, графы.

Учебное пособие предназначено для студентов 1-го курса направления 552800 «Информатика и вычислительная техника», изучающих курс «Дискретная математика».

Библиография - 14 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

ISBN 5-230-

©Волгоградский

государственный

технический

университет, 2005 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Введение в теорию множеств 5

§ I.1. Понятие «множества» 5

§ I.2. Способы задания множества 6

§ I.3. Операции над множествами 9

§ I.4. Свойства множественных операций 11

§ I.5. Декартово (прямое) произведение множеств 12

§ I.6. Некоторые свойства декартова произведения 14

§ I.7. Соответствия между множествами 14

§ I.8. Композиция двух соответствий 16

§ I.9. Отображения и функции 18

§ I.10. Операции над образами и прообразами отображений и их свойства 22

§ I.11. Равномощность и мощность множеств 23

§ I.12. Бинарные отношения 28

§ I.13. Отношение эквивалентности 29

§ I.14. Отношение упорядоченности 31

§ I.15. Диаграммы Хассе 34

Глава II. Алгебраические действия общего типа 35

§ II.1. Основные понятия 35

§ II.2. Способы задания действий 36

§ II.3. Свойства действий (операций) 39

§ II.4. Простейшие алгебраические системы 41

§ II.5. Подгруппы 47

§ II.6. Конечные группы 48

§ II.7. Циклические подгруппы 49

§ II.8. Кольца, тела и поля 57

Глава III. Введение в теорию графов 62

§ III.1. История и применение 62

§ III.2. Основные определения теории графов 63

§ III.3. Способы задания графов 65

§ III.4. Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов 67

§ III.5. Подграфы 69

§ III.6. Операции над графами 70

§ III.7. Маршруты, пути и циклы в графах 72

§ III.8. Некоторые свойства маршрутов, путей и циклов 73

§ III.9. Связность и компоненты графа 74

§ III.10. Циклический и коциклический ранг графа 77

§ III.11. Фундаментальные циклы и разрезы 79

§ III.12. Специальные графы 81

§ III.13. Эйлеровы графы 82

§ III.14. Гамильтоновы графы 85

§ III.15. Планарные графы 87

Задачи и упражнения 91

Список литературы 97

1. Введение в теорию множеств

   1. Понятие «множества»

Начало созданию теории множеств дал немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918). Понятие «множества» он формулировал следующими словами: «Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью» или «множество - это многое, мыслимое в качестве единого».

Это определение нельзя рассматривать как строгое математическое определение. Это лишь описание идеи. Ведь слова «объединение», «совокупность» или «класс» ничем не хуже слова «множество». Понятие «множества» принимается как основное, первоначальное или исходное, не сводимое к другим, более ранним понятиям.

Примеры множеств:

1) множество гласных букв в русском алфавите;

2) множество людей, присутствующих в данный момент в данной комнате;

3) множество молекул воды в данном конкретном стакане;

4) множество точек, являющихся вершинами некоторого многоугольника;

5) множество сочетаний из 13 элементов по 7 и т.д..

Все приведенные примеры множеств обладают одним существенным свойством – эти множества состоят из конечного числа элементов. Конечного в том смысле, что на вопрос «сколько?» всегда можно дать определенный ответ в виде известного (или в данный момент не известного, но, тем не менее, определенного) целого числа.

Множества, состоящие лишь из конечного числа элементов, называются конечными множествами.

В математике часто приходится сталкиваться с другими – не конечными, или, как принято говорить, бесконечными множествами. Примерами бесконечных множеств могут послужить числовые множества:

Примеры числовых множеств:

1) ℕ– множество всех натуральных чисел – {1,2,3, …};

2) ℤ – множество всех целых чисел – {…,-2,-1,0,1,2,…};

3) ℚ – множество рациональных чисел (это числа, которые могут быть представлены в виде дроби, числитель которой – целое число, а знаменатель – натуральное, т.е. x=a/b , где a-целое, b-натуральное);

4) ℝ – множество вещественных (действительных) чисел (это все рациональные и иррациональные числа);

5) ℂ – множество комплексных чисел (это числа, вида х=a+ib, где a и b-вещественные, i–мнимая единица: i²= ‑1);

6) ℝ² – множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (x,y), – вся вещественная плоскость;

7) ℝⁿ – n‑мерное вещественное пространство, где n – натуральное число, – множество всех упорядоченных последовательностей из n вещественных чисел («энок») или n‑мерное вещественное пространство.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается . Пустое множество конечно. Число элементов в пустом множестве равно нулю.