8.)Правило Лопиталя.

Пусть x₀Îℝ̄ и выполняются следующие условия:

1) функции f(x) и j(x) определены и непрерывны в некоторой d-окрестности x₀, за исключением возможно самой x₀;

или

3) функции f(x) и j(x) дифференцируемы в U*(x₀,d) , причем

j ¢(x) ¹ 0 ,  "xÎU*(x₀,d) .

Тогда, если (конечный или бесконечный), то

причем эти два предела будут равны. Т.е.

Правило Лопиталя можно применять только при раскрытии неопределенности вида и

Замечания.

1) Если f ¢(x)  и j ¢(x)  тоже являются б.м. (б.б.) при x ® x₀ , то правило Лопиталя можно применить повторно.

2) Если не существует, то правило Лопиталя непри-

менимо. При этом может существовать.

9.)Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции.

Необходимое условие: Если дифференцируемая на отрезке [a,b] функция F(x) возрастает (убывает), то F’(x)0 (F’(x) 0) для х [a,b].

Необходимое условие:

Пусть F(x) возрастает на отрезке [a,b]. Придадим аргументу х приращение х и рассмотрим отношение

F(x+х)- F(x)/ х (1)

Т.к. F(x) – возрастает, то

F(x+х)> F(x) при х>0;

F(x+х)< F(x) при х<0.

В обоих случаях

F(x+х)- F(x)/ х >0, т.к. числитель и знаменатель одного знака 

F’(x)= (F(x+х)- F(x)/ х) 0; (2)

т.е. F’(x)0. (Если бы было F’(x)<0, то при достаточно малых значениях отношение (1) было бы отрицательным, что противоречит соотношению (2)).

Достаточное условие: Если F(x) дифференцируема на отрезке [a,b] и F(x)>0(F(x)<0) для х [a,b], то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

Пусть F’(x)>0 при х [a,b].

Возьмем любые точки х1 и х2 из отрезка [a,b] про х1<х2.

По теореме Лагранжа

F(x1)- F(x2)= F’(с)(x1-х2), где с(х1,х2).

По условию F’(с)>0  F(x1)- F(x2)>0, или F(x2)>F(x1), т.е.

функция F(x) на отрезке [a,b] возрастает.

10.)Экстремумы функции: определение, необходимое условие экстремума (Теорема Ферма). Достаточные условия экстремума.

Пусть ∈ D(f), внутренняя точка D(f) (т.е. некоторая окрестность точки , целиком лежащая во множестве D(f)).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Точка точка максимума функции, если такая δ - окрестность U(, δ) точки , что f(x)<f(), x ∈ U*(, δ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Точка точка минимума функции, если такая δ - окрестность U(, δ) точки , что f(x)>f(), x ∈ U*(, δ).

Замечания:

1. «Глобальные» - наибольшее и наименьшее значение

«Локальные» - точки экстремума

2. Некоторые минимумы могут быть больше максимумов

ТЕОРЕМА (необходимое условие экстремума, теорема Ферма)

Пусть - точка экстремума функции f(x) и f(x)-дифференцируема в точке . Тогда f ’()=0.

Геометрический смысл:

Если - точка экстремума функции f(x) и кривая y=f(x) имеет невертикальную касательную в точке (,f(), то эта касательная - горизонтальная.

Доказательство: Пусть x = - максимум функции f(x)

Δx ≠0

f(+ Δx ) < f();

f(+ Δx ) - f() < 0;

y’=

= ≥ 0

= ≤ 0

(≥,≤ - по свойству пределов)

=0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Стационарные точки- точки, в которых (x)=0.

Теорема (первое достаточное условие экстремума)

Пусть внутренняя точка D(f), f(x) непрерывна в U(, δ), f(x) дифференцируема в U(, δ) или в U*(, δ).

Если при переходе через точку производная функции меняет знак, то - точка экстремума. При этом, если производная меняет знак с «+» на «-» , то - точка максимума, если с «-» на «+», то- точка минимума.

Доказательство: Предположим сначала, что производная меняет знак с «+» на «-», т.е. что для всех x, достаточно близких к точке , имеем

f ‘(x) > 0 при x <

f ’(x) < 0 при x

Применяя теорему Лагранжа к разности f(x) - f(, получим

f(x) - f(=f ‘(ξ) (x-, где ξ-точка,лежащая между x и

1. Пусть x<, тогда

ξ< , f ‘(ξ) > 0, f ‘(ξ) (x- < 0

следовательно, f(x) - f( < 0

2. Пусть x, тогда

ξ > , f ‘(ξ) < 0, f ‘(ξ) (x- < 0

следовательно, f(x) - f( < 0

Соотношения (1) и (2) показывают, что для всех значений x, достаточно близких к , значения функции меньше, чем значение функции в точке Следовательно, в точке функция имеет максимум.

Замечание: Точками экстремума могут быть не только стационарные точки, в которых функция не имеет производной ( точки разрыва производной).

Стационарные точки и точки, в которых производная не существует - критические точки 1 рода.

Теорема (второе достаточное условие экстремума)

Пусть внутренняя точка D(f) и f(x) n раз дифференцируема в точке ,

f ‘(=f ‘’(=…=(=0, ( ≠0.

Тогда:

1. Если n- четное и (>0, то - минимум.

2. Если n- четное и (<0, то - минимум.

3. Если n-нечетное, то не является точкой экстремума.

11.)Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба: определения, необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) кривой y=f(x) , необходимые и достаточные условия перегиба кривой y=f(x) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ℓ – кривая, M₀ – точка кривой, причем в M₀ существует невертикальная касательная к ℓ.

Кривую ℓ называют выпуклой в точке M₀, если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит ниже касательной, проведенной к ℓ в точке M₀.

Кривую ℓ называют вогнутой в точке M₀, если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит выше касательной, проведенной к ℓ в точке M₀.

Точки кривой, которые разделяют ее выпуклые и вогнутые участки, называются точками перегиба кривой.

Замечания.

1) Выпуклость и вогнутость кривой в точке – локальные понятия. Они определяют относительное расположение точек кривой и касательной вблизи точки касания. В точках, удаленных от точки касания, кривая и касательная могут располагаться произвольным образом.

2) В точке перегиба касательная к кривой (если она существует) пересекает кривую (кривая переходит с одной стороны касательной на другую)

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кривая y = f(x) называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a;b) если "xÎ (a;b) кривая выпукла (вогнута) в соответствующей точке M(x ; f(x)).

Замечания.

1) Если M₀(x₀ ; f(x₀)) – точка перегиба кривой y = f(x), то x₀ – внутренняя точка области определения функции f(x).

2) Точками перегиба кривой y = f(x) часто называют точки, которые разделяют интервалы выпуклости и вогнутости этой кривой (т.е. абсциссы точек перегиба кривой y = f(x)).

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции).

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a;b). Тогда:

1) если кривая y = f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a;b), то f ¢¢(x) £ 0 (f ¢¢(x) ³ 0), "xÎ (a;b)

(необходимое условие выпуклости (вогнутости) графика);

2) если f ¢¢(x) < 0 (f ¢¢(x) > 0) "xÎ (a;b),

то кривая y = f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a;b)

(достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика)

Доказательство. Возьмем в интервале (a, b) произволь­ную точку х=х₀ и проведем касательную к кривой в точке с абсциссой х—х₀. Теорема будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на интервале (а, b) лежат ниже этой касательной, т.е. что ордината любой точки кривой y = f(x) меньше ординаты у касательной при одном и том же значении х.

Уравнение кривой имеет вид

V = f(x). (1)

Уравнение же касательной к кривой в точке х = х₀ имеет вид

ỹ -f(x₀) = f' (x_о) (x-x_о)

или

ỹ = f(x₀)+f'(x₀)(x-x_Q). (2)

Из уравнений (1) и (2) следует, что разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении х равна

y-ỹ = f(x)- f(x₀) – f’ (x_о) (x-x_o). Применяя теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x₀), получим

y- ỹ = f’(с) (х-х₀)-f’ (х₀) (х-x_o)

(где с лежит между х₀ и х), или

y- ỹ = [f’ (с)-f’ (х₀)](х-х₀).

К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применяем теорему Лагранжа; тогда

y- ỹ = f’’ (C₁) (с - х₀) (х-х₀) (3)

(где c₁ лежит между х₀ и с).

Рассмотрим сначала тот случай, когда x>х₀. В этом случае x_o <с₁<с <х;

так как х — x₀>0, с — x₀>0 и так как, кроме того, по условию, f " (с₁) < 0, то из равенства (3) следует, что

y- ỹ <0.

Рассмотрим теперь случай, когда х < х_o. В этом случае x<с< c₁ < х₀ и х — х₀ < 0, с — х₀ < 0, а так как по условию f" (c₁) <0, то из равенства (3) следует, что у — ỹ < 0.

Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значения х и х₀ на интервале (а, b). А это и значит, что кривая выпукла. Теорема доказана.

Аналогичным образом доказывается теорема для вогнутости

Теорема:

Пусть кривая определяется уравнением y=f(x)

Ecли f’’(a)=0 или f’’(а) не существует и при переходе через значение х=а производная f’’(x) меняет знак, то точка кривой с абциссой х=а есть точка перегиба

Доказательство:

1)Пусть f’’(x)<0 при x<a и f’’(x)>0 при x<a

Тогда при x<a кривая обращена выпуклостью вверх и при x>a выпуклостью вниз. Значит тчк Акривой с абциссой х=а есть точка перегиба.

2)Если f’’(x)>0 при x<b и f’’(x)<0 при x>b, то при x<b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x>b выпуклостью вверх. Следовательно, точка В кривой с абциссой x=b есть точка перегиба