Периодические колебания. Гармонические колебания Амплитуда, период и частота колебаний. Математический маятник. Колебания тела на пружине

Колебаниями называется движение, обладающее той или иной степенью повторяемости (например, движение маятника).

Периодическими колебаниями называется такие колебания, при которых все характеристики движения повторяются через определенный промежуток времени, называемый периодом колебаний.

Периодом колебаний называется промежуток времени, за который совершается одно колебание: T = t/n, где n – число колебаний, совершенных за время t.

Единица периода в СИ – секунда.

Частотой колебаний называется количество колебаний, совершаемых за единицу времени:  = n/ t,

Гармоническими колебаниями называются периодические изменения физической величины, происходящие во времени по закону синуса или косинуса:

x =Asin(t + _0),

• A – максимальное смещение тела, называемое амплитудой колебаний;

•  – круговая частота колебаний, равная числу колебаний за 2 секунд (размерность – с^-1);

• (t + ₀) – фаза колебаний в текущий момент времени;

• ₀ – начальная фаза (при t = 0).

На практике используют следующие способы записи гармонических колебаний тела:

• х = Аcos(t) – в момент t = 0 отклонение максимально (х₀ = А), а скорость тела равна нулю;

• х = Аsin(t) – в момент t = 0 тело проходит через равновесное положение (х₀ = 0), а его скорость максимальна.

Круговая частота колебаний  связана с рассмотренной выше частотой колебаний  и с периодом колебаний T соотношениями

 = 22/T.

Свободными называются колебания вокруг положения устойчивого равновесия, возникающие после того, как тело вывели из равновесия однократным (не повторяющимся) внешним воздействием.

Расчеты показывают, что, если возвращающая сила прямо пропорциональна смещению тела (F = –kx), а силы сопротивления движению отсутствуют, то тело, выведенное из состояния равновесия, совершает свободные гармонические колебания, период которых определяется следующей формулой:

T = 

где m – масса тела; k – коэффициент жесткости.

Эта формула напрямую применима к колебаниям тела на пружине.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на нерастяжимой, невесомой нити. При небольших углах отклонения нити от вертикали (до 5^о) и при отсутствии сил трения маятник совершает колебания близкие к гармоническим с периодом

T =

где l – длина нити, g – ускорение свободного падения.

Превращения энергии при гармонических колебаниях. Вынужденные колебания. Резонанс

Тело, совершающее свободные гармонические колебания обладает двумя видами механической энергии: Кинетической энергией E_k, и потенциальной энергией E_п. В процессе колебаний происходят следующие превращения энергии

• При удалении тела от равновесного положения скорость движения уменьшается, а потенциальная энергия тела возрастает. Имеет место переход кинетической энергии в потенциальную: E_k  E_п;

• При движении тела в сторону положения равновесия его потенциальная энергия уменьшается, а скорость движения возрастает. Имеет место переход потенциальной энергии в кинетическую E_п  E_k.

Полная механическая энергия колебаний остается неизменной: E_п + E_k = const. Поэтому амплитуда колебаний не меняется. Такие колебания называются незатухающими.

В реальной ситуации помимо возвращающей силы на колеблющееся тело действуют силы трения. Поэтому механическая энергия убывает, а амплитуда колебаний уменьшается. Свободные колебания при наличии сил трения затухают.

Чтобы сделать колебания незатухающими, необходимо с помощью внешних сил восполнять потери энергии, вызванные силами трения.

Периодическая внешняя сила, действующая на колеблющееся тело, называется вынуждающей силой.

Колебания, совершаемые под действием вынуждающей силы, называются вынужденными.

Расчеты показывают, что если вынуждающая сила подчиняется гармоническому закону F = F_msin(2t), то в системе устанавливаются гармонические незатухающие колебания, частота которых равна частоте вынуждающей силы.

Амплитуда таких колебаний зависит не только от величины силы, но и от того, насколько близка частота силы () к частоте свободных колебаний системы (₀). Эту зависимость изображают графически с помощью резонансной кривой

По мере приближения частоты вынуждающей силы к частоте свободных колебаний амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.