40. Похибки перевірка гіпотез

Похибки першого роду  і похибки другого роду в математичній статистиці — це ключові поняття завдань перевірки статистичних гіпотез. Проте, дані поняття часто використовуються і в інших областях, коли йдеться про ухвалення «бінарного» рішення (так/ні) на основі якогось критерію (тесту, перевірки, вимірювання), який з деякою вірогідністю може давати помилковий результат. Нехай дано вибірку  з невідомого розподілу , и постовлена бінарна задача перевірки статистичних гіпотез:де H₀ — нульова гіпотеза, а H₁ — альтернативна гіпотеза. Припустимо, що заданий статистичний критерій,що зіставляє кожній реалізації вибірки  одну з гіпотез, які маємо. Тоді можливі чотири ситуації:1Розподіл  вибірки  відповідає гіпотезі H₀, і вона точно визначена статистичним критерієм, тобто .2Розподіл  вибірки  відповідає гіпотезі H₀, але вона невірно знехтувана статистичним критерієм, тобто .3Розподіл  вибірки  відповідає гіпотезі H₁, і вона точно визначена статистичним критерієм, тобто .4Розподіл  вибірки  відповідає гіпотезі H₁, але вона невірно знехтувана статистичним критерієм, тобто .У другому і четвертому випадку говорять, що відбулася статистична помилка, і її називають похибкою першого і другого роду відповідно. Ймовірність похибки першого роду при перевірці статистичних гіпотез називають рівнем значущості і зазвичай позначають грецькою буквою α (звідси назва α-errors).

Ймовірність похибки другого роду не має якоїсь особливої загальноприйнятої назви, на папері позначається грецькою буквою β (звідси β-errors). Проте з цією величиною тісно зв'язана інша, що має велике статистичне значення — потужність критерію. Вона обчислюється за формулою (1 − β). Таким чином, чим вище потужність, тим менше вірогідність зробити похибку другого роду.Обидві ці характеристики зазвичай обчислюються за допомогою так званої функції потужності критерію. Зокрема, ймовірність похибки першого роду є функцією потужності, обчисленою при нульовій гіпотезі. Для критеріїв, заснованих на вибірці фіксованого обсягу, ймовірність похибки другого роду є одиниця мінус функція потужності, обчислена в припущенні, що розподіл спостережень відповідає альтернативній гіпотезі. Для послідовних критеріїв це також вірно, якщо критерій зупиняється з ймовірністю одиниця (при даному розподілі з альтернативи).У статистичних тестах зазвичай доводиться йти на компроміс між прийнятним рівнем похибок першого і другого роду. Часто для ухвалення рішення використовується порогове значення, яке може варіюватися з метою зробити тест строгішим або, навпаки, м'якшим. Цим пороговим значенням є рівень значущості, яким задаються при перевірці статистичних гіпотез. Наприклад, у разі металлодетектора підвищення чутливості приладу приведе до збільшення ризику похибки першого роду (помилкова тривога), а пониження чутливості — до збільшення ризику похибки другого роду (пропуск забороненого предмету).