- •1. Понятие о функциональной и корреляционной связи
- •2. Корреляционно-регрессионный анализ
- •3. Регрессионный анализ
- •1. Понятие о функциональной и корреляционной связи
- •1.1. Требования к статистической информации, исследуемой методами корреляционно-регрессионного анализа
- •1.2. Линейная и нелинейная связи
- •2. Корреляционно-регрессионный анализ
- •2.1. Парные (линейные) коэффициенты корреляции
- •Шкала оценок парных коэффициентов корреляции
- •2.2. Оценка существенности связи
- •2.3. Определение множественного коэффициента корреляции
- •3. Регрессионный анализ
- •3.1. Общие принципы построения регрессионных уравнений
- •3.2. Построение парного линейного уравнения
- •Стоимость основных фондов и выпуск продукции по группе заводов
- •Расчет параметров уравнения регрессии
- •4,72 А0 10,8 0,422, откуда а0 0,16.
- •Расчет линейного коэффициента корреляции
- •3.3. Построение множественного уравнения регрессии
- •Расчет параметров уравнения множественной регрессии
- •Расчет коэффициента множественной корреляции
3.2. Построение парного линейного уравнения
Если имеется только один факторный признак, строится так называемая парная регрессия, выражающаяся уравнением прямой
Коэффициент регрессии а1 показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Х увеличить на единицу ее собственного измерения.
Свободный член уравнения а0 характеризует усредненное влияние неучтенных в модели факторов (определяет начальные условия развития).
Для нахождения параметров уравнения прямой воспользуемся методом наименьших квадратов.
Для расчета параметров линейного уравнения регрессии решим следующую систему нормальных уравнений:
После решения системы и нахождения параметров а0 и а1 данные параметры подставляют в уравнение прямой. Рассчитанные по этому уравнению значения называются теоретическими (выравненными) значениями у.
Пример 3. Рассчитаем парный коэффициент корреляции и построим уравнение регрессии на основе следующих данных.
Стоимость основных фондов и выпуск продукции по группе заводов
Изобразим на графике координаты факторного и результативного признака точками, а затем соединим их между собой.
На поле корреляции появилась линия, которая по форме ближе всего к прямой.
Можно предположить, что между стоимостью основных фондов и выпуском продукции существует прямолинейная связь, которая выражается уравнением прямой Для определения параметров а0 и а1, используя метод наименьших квадратов, необходимо решить следующую систему нормальных уравнений:
где п численность совокупности (в нашем примере п 10).
Проведем необходимые расчеты в следующей таблице.
Расчет параметров уравнения регрессии
Расчеты, проведенные в таблице, дали следующие результаты:
Следовательно, система уравнений для нахождения параметров прямой имеет вид:
Решим ее.
Каждый член обоих уравнений поделим на коэффициенты при а0 и из второго уравнения вычтем первое:
1) 4,72 а0 10,8а1;
2) 4,99 а0 11,44 а1; 0,27 0,64 а1.
Определим параметр а1:
Подставив значение а1 в первое уравнение, получим:
4,72 А0 10,8 0,422, откуда а0 0,16.
Параметр а0 - свободный член уравнения: ух 0,16, когда х 0.
Получим:
а0 0,16; а1 0,422.
Параметр уравнения а1 показывает, что с увеличением стоимости фондов на 1 млн руб. выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,422 млн руб. Линейное уравнение корреляционной связи будет иметь следующий вид:
Подставляя в это уравнение значения х, получим:
1) при х 6: у6 0,16 0,422 6 2,692;
2) при х 8: у8 0,16 0,422 8 3,537 и т. д.
Эти значения называются выравненными. Они приведены в последней колонке предыдущей таблицы.
Измерим тесноту связи между факторным и результативным признаками. Для расчета используем следующую формулу:
Расчет необходимых значений проведем в следующей таблице.
Расчет линейного коэффициента корреляции
Связь между стоимостью основных фондов и выпуском продукции прямая и высокая.
Расчет коэффициента корреляции по следующей формуле даст такой же результат:
где
у среднее квадратическое отклонение результативного признака;
х среднее квадратическое отклонение факторного признака.
По данным таблицы проведем расчет:
Подставим необходимые данные в формулу
В случае нелинейной зависимости между признаками для измерения тесноты связи применяют корреляционное отношение, которое исчисляется по формуле
где у фактические значения;
среднее значение;
yx теоретические (выравненные) значения переменной величины.
Корреляционное отношение по своему абсолютному значению может принимать значения в пределах от 0 до 1.