3.2. Построение парного линейного уравнения

Если имеется только один факторный признак, строится так называемая парная регрессия, выражающаяся уравнением прямой

Коэффициент регрессии а₁ показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Х увеличить на единицу ее собственного измерения.

Свободный член уравнения а₀ характеризует усредненное влияние неучтенных в модели факторов (определяет начальные условия развития).

Для нахождения параметров уравнения прямой воспользуемся методом наименьших квадратов.

Для расчета параметров линейного уравнения регрессии решим следующую систему нормальных уравнений:

^{После решения
системы и нахождения параметров}^а₀^и^а₁^{данные параметры подставляют в уравнение
прямой. Рассчитанные по этому уравнению
значения} ^{называются}^{теоретическими
(выравненными)}^{значениями}^у^.

Пример 3. Рассчитаем парный коэффициент корреляции и построим уравнение регрессии на основе следующих данных.

Стоимость основных фондов и выпуск продукции по группе заводов

Изобразим на графике координаты факторного и результативного признака точками, а затем соединим их между собой.

На поле корреляции появилась линия, которая по форме ближе всего к прямой.

^{Можно предположить,
что между стоимостью основных фондов
и выпуском продукции существует
прямолинейная связь, которая выражается
уравнением прямой} ^{Для
определения параметров}^а₀^и^а₁^,^{используя
метод наименьших квадратов, необходимо
решить следующую систему нормальных
уравнений:}

где п  численность совокупности (в нашем примере п  10).

Проведем необходимые расчеты в следующей таблице.

Расчет параметров уравнения регрессии

Расчеты, проведенные в таблице, дали следующие результаты:

Следовательно, система уравнений для нахождения параметров прямой имеет вид:

Решим ее.

Каждый член обоих уравнений поделим на коэффициенты при а₀ и из второго уравнения вычтем первое:

1) 4,72  а₀  10,8а₁;

2) 4,99  а₀  11,44 а₁; 0,27  0,64 а₁.

^{Определим
параметр}^а₁^:

Подставив значение а₁ в первое уравнение, получим:

4,72  А0  10,8  0,422, откуда а0  0,16.

Параметр а₀ - свободный член уравнения: у_х  0,16, когда х  0.

Получим:

а₀  0,16; а₁  0,422.

Параметр уравнения а₁ показывает, что с увеличением стоимости фондов на 1 млн руб. выпуск продукции увеличивается в среднем на 0,422 млн руб. Линейное уравнение корреляционной связи будет иметь следующий вид: