32.Теорема про незміщеність емпіричних початкових моментів.(Доведення)

Емпіричні початкові моменти є незміщеною оцінкою відповідних елементів генеральної сукупності, при умові якщо вони існують.

Для емпіричного початкового моменту n-ого порядку ми маємо:

Нехай в нас є - незміщена оцінка параметра , тоді необхідно і достатньо, що умовою збіжності оцінки є збіжність дисперсії оцінки до 0.

Доведення аналогічне доведенню нерівності Чебишева.

33. немає

34.Означення кількості інформації за Фішером.

Функцію називають кількістю інформації за Фішером.

- щільність

35.Лема про рівність . (Доведення загальний випадок)

Якщо майже для всіх існують похідні , які є мажорвні інтегрованим функціям і виконується умова , то для всіх

, а

Доведення

Використовуючи властивості функції щільності зазначимо:

Візьмемо похідну і маємо:

Введемо наступні позначення:

Маємо:

Візьмемо другу похідну по :

Звідси ми отримуємо

Теорему доведено.

36.Теорема про нерівність Крамера-Рао (загальний випадок). Доведення.

Нехай задовольняються умови леми про рівність і - незміщена оцінка параметра , така що функція , мажоровна інтегрованою функцією , , тоді виконується нерівність:

, де величина - кількість інформації за Фішером.

Причому рівність досягається тоді і тільки тоді,коли можна подати у вигляді .

37.Наслідок теореми (про нерівність Крамера-Рао) про ефективність оцінки.

Якщо для оцінки виконується нерівність Крамера-Рао, зокрема перетворення на рівність, то оцінка є ефективною.

38.Лема про рівність (для дискретного розподілу). Доведення.

Якщо майже для всіх можливих значень вибірки існують похідні ,.

, , ,, то для всіх :

,і , де

Доведення аналогічне до леми в питанні 35.

39.Теорема про нерівність Крамера-Рао (дискретний розподіл). Доведення.

Нехай задовольняються умови леми про рівність (для дискретного розподілу) і - незміщена оцінка параметра така що функція для всіх можливих значень вибірки і ряд збігається абсолютно і рівномірно .

Тоді виконується нерівність , причому рівність справджується тоді і тільки тоді, коли можна подати у вигляді

Доведення аналогічне як у питанні 36.

40.Метод моментів побудови точкових оцінок.

Нехай в нас є вибірка , , де розподіл залежить від параметру який в свою чергу є вектором S . Нам потрібно оцінити невідомі параметри .

Першим загальним методом побудови оцінок невідомих параметрів за вибіркою є метод моментів, що запропонований Пірсоном.

Взагалі можна показати, що початковий та центральний емпіричні моменти є конценстендними оцінками відповідно початкового і центрального моментів першого порядку. Згідно з методом моментів певну кількість вибіркових моментів прирівнюють до відповідних моментів ,розподілу .

Ці вибіркові моменти обчислюються при значеннях параметрів , що дорівнюють відповідно .

Перший вибірковий момент:

Розглянемо кількість початкових моментів, що дорівнює кількості невідомих параметрів, які потрібно оцінити, обертають таку саму кількість рівнянь для визначення невідомих параметрів.