75. Етапи перевірки статистичних гіпотез:

Визначення нульової гіпотеза та альтернатив.

Задання рівня значущості.

Вибрати критерій перевірки.

Визначити критичну область.

За результатами експерименту підрахувати фактичне значення критерію.

Визначаємо чи належить критерій критичній області, якщо так, то гіпотеза не приймається, інакше приймається.

76. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі

Виберемо критерій. Оскільки емпіричним аналогом є частота, яка в свою чергу при об’ємі n визначається числом .

Критерій .

Із ростом ймовірності p число появи події А, що отримується в результаті спостережень має тенденцію до збільшення. Таким чином велике значення критерію говорить на користь альтернативи. Критична область для гіпотези при альтернативі визначається наступним чином . Оскільки в дійсності частота події А не може перевищувати кількість випробувань, критична область визначається , необхідно визначити .

Ми знаємо, що - рівень значущості повинен вибиратися так, щоб .Оскільки частота події А може трактуватися як кількість успіхів в n випробуваннях Бернулі з ймовірністю , то частота підкорюється біноміальному розподілу.

.

Підбираємо мінімальне значення , при якому рівність виконується. Враховуючи теорему Мавра-Лапласа і враховуючи, що критерій R має:

МR=n; DR= n(1- ), тоді визначається

- функція Лапласа.

- де квантіль стандартного нормального розподілу.

Критична область .

77. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі .

Виберемо критерій. Оскільки емпіричним аналогом є частота, яка в свою чергу при об’ємі n визначається числом .

Критерій .

Із ростом ймовірності p число появи події А, що отримується в результаті спостережень має тенденцію до збільшення. Таким чином велике значення критерію говорить на користь альтернативи. Критична область для гіпотези при альтернативі визначається наступним чином . Оскільки в дійсності частота події А не може перевищувати кількість випробувань, критична область визначається , необхідно визначити .

Ми знаємо, що - рівень значущості повинен вибиратися так, щоб .Оскільки частота події А може трактуватися як кількість успіхів в n випробуваннях Бернулі з ймовірністю , то частота підкорюється біноміальному розподілу.

.

Підбираємо мінімальне значення , при якому рівність виконується. Враховуючи теорему Мавра-Лапласа і враховуючи, що критерій R має:

МR=n; DR= n(1- ), тоді визначається

- функція Лапласа.

- де квантіль стандартного нормального розподілу.

Критична область .

78. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези (при альтернативі

Критична область при якій гіпотеза спростовується.

Гіпотеза приймається в тому випадку, коли частота появи події А є досить малою і відповідно критична область матиме вигляд .

повинно бути найбільше число що задовольняє нерівність:

де - рівень значущості.

При великих об’ємах використовують нормальний розподіл, при цюму різниця між відкритими і закритими інтервалами стає не суттєвою.

Тоді, , звідки визначимо .

;

Критична область .

79. Визначення області прийняття гіпотези та критичну область для гіпотези при альтернативі

Гіпотеза відхиляється як при малих значеннях так і при великих, тобі будується область прийняття рішення гіпотези. І визначається як:

Знаємо ,

де МR=, DR=

Тоді , звідки визначаємо .

Область прийняття рішень

.

81. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу та альтернативу . - розподілені за нормальним законом. - верхня - границя із - ступенем свободи. гіпотеза відхиляється у протилежному випадку ні. Отже область прийняття гіпотези будується: отже область прийняття гіпотези .

82. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу та альтернативу . - розподілені за нормальним законом. - верхня - границя із - ступенем свободи. гіпотеза відхиляється у протилежному випадку ні. Отже область прийняття гіпотези будується: отже область прийняття гіпотези .

83. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу та альтернативу . - розподілені за нормальним законом. - верхня - границя із - ступенем свободи. гіпотеза відхиляється у випадку . Отже область прийняття гіпотези .

84. Вибір критерію для перевірки гіпотези про дисперсію нормального розподілу

Нехай - реалізація вибірки , які мають , відносно значення дисперсії висувається гіпотеза: . В якості критерію візьмемо наступну величину: яка має - розподіл з - ступенем свободи, де - вибіркова дисперсія на основі вибірки. - значення. Яке пропонується.

85. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу при альтернативі - фіксоване, то більшим значенням істинної дисперсії будуть відповідати більші значення емпіричної дисперсії. Область прийняття гіпотези: . Критична область: . Критерій має - розподіл з - ступенем свободи, тоді : . Область прийняття гіпотези в даному випадку визначається: .

86. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу при альтернативі - фіксоване, то більшим значенням істинної дисперсії будуть відповідати більші значення емпіричної дисперсії. Область прийняття гіпотези: . Тоді це є квантіль - розподіл з - ступенем свободи, тоді : . Область прийняття гіпотези в даному випадку визначається: .

87. Визначення області прийняття гіпотези та критичної області при перевірці гіпотези , якщо

Розглянемо гіпотезу при альтернативі - фіксоване, то більшим значенням істинної дисперсії будуть відповідати більші значення емпіричної дисперсії. Область прийняття гіпотези: . , . Область прийняття гіпотези в даному випадку визначається: .

88. Поняття непараметричних критеріїв

Непараметричні критерії – це такі критерії вид розподілу яких не залежить від розподілу генеральної сукупності.

89. Критерій згоди (означення)

Критерії згоди – критерії перевірки гіпотез про розподіл випадкової величини.

90. Критерій Колмогорова, використання критерію Колмогорова, правило перевірки гіпотези

91. Функція розподілу Колмогорова

- функція розподілу Колмогорова.

92. Критерій Пірсона, побудова критерію Пірсона, використання

Розглядаємо випадок, коли 2 параметра невідомі і перевіряється гіпотеза про вид розподілу. В даному випадку використовується - Пірсона. Вся множина випадкової величини розбивається на скінченне число підмножин, які не перетинаються. Критерій Пірсона

93. Теорема про розподіл критерію

Теорема. Якщо гіпотеза, що перевіряє вид розподілу справедлива, то при великому об’єму вибірки , критерій має приблизно - розподіл з - ступенем свободи, де - кількість множин на які розбивається вибірка, - кількість параметрів.

94. Правило перевірки гіпотез про вид розподілу з використанням -критерію

Порядок перевірки гіпотези про вид розподілу: 1)Оцінюються параметри розподілу .2) Визначається - кількість параметрів.3)За даними вибірки підраховуємо значення критерію . 4) Оскільки критерій - розподілу з - ступенем свободи, то гіпотеза відхиляється, при: , а приймається : .

95. Критерій Вілкоксона, використання

Даний критерій називається ранговим. Елементи наявної вибірки ранжуються в порядку не спадання. Рангом елемента вибірки називається його порядковий номер в ранжованій послідовності. Якщо в ранжованій послідовності зустрічаються два однакових елементи, то кожному з них приписуємо однаковий ранг. Критерій Вілколкоксона базується на рангах елементів. Отже маємо дві вибірки х₁,…, х_n і y₁,…y_n. Об’єднаємо їх в одну послідовність і проведемо їх ранжування. Потім підрахуємо суму рангів елементів для 1-шої вибірки і позначимо W. Очевидно, що сума рангів всіх елементів становить 1+2 +…+m+n=(m+n)(m+n+1)/2. Матиматичне сподівання для W становить M(W)=m(m+n+1)/2, а дисперсія D(W)=nm(n+m+1)/12. Розподіл W прямує до нормального ропозділу з вказаними параметрами M i D, отже критерій має нормальний стандартний розподіл і таким чином можна застосувати процедури перевірки гіпотез про математичне сподівання .

96. Критерій знаків, використання

Даний критерій застосовується коли m=n. Відбувається попарне порівняння елементів вибірки - дані пари є взаємно незалежними.Гіпотеза полягає в наступному, що компоненти розподілені однаково - в якості критерію беремо число додатніх знаків. Якщо дана гіпотеза справедлива, то критерій має біноміальний розподіл з параметрами n i p, p=1/2 можна взяти процедуру перевірки гіпотези коли p₀=1/2.

97. Визначення моделі одновимірної лінійної регресії

Моделлю лінійної регресії назив.залежність де -це взаємозалежні випадкові величини для яких Mа дисперсія D.

98. В чому полягає задача регресії

Задача регресії полягає в знаходженні оцінок невідомих параметрів .На основі спостережень знаючи всі оцінки ми можемо оцінити значення знайти оцінку.(незнаю чи правильно).

99. Графік лінійної регресії

Графік лінійної регресії відповідний графік називається графіком лінійної регресії

100. Оцінки методу найменших квадратів

Оцінки називаються оцінками методу найменших квадратів,якщо вони мінімізують суму квадратів відхилення.

101. Метод найменших квадратів побудови оцінок та (доведення)

З знаходимо частинні похідні по

; оскільки в нас критерій .Ми одержуємо систему рівнянь: ; ;

;

102. Властивості оцінок, що отримані методом найменших квадратів

Властивості:

1Вони незміщені, тобто матиматичне сподівання оцінки = параметру

2Дані оцінки мають найменшу дисперсію серед всіх незміщених оцінок

3Незміщеною оцінкою невідомої дисперсії є оціка, що визначається так:

4 - середнє квадратичне відхилення

5 Прогнозоване значення y при даному значенні , і - є незміщеною оцінкою , причому дисперсія даної оцінки мінімальна і визначається наступним чином