1.4.2. Центр инерции и центр масс системы тел

Пусть имеется система тел, импульс которой . Тела, входящие в систему, будем условно считать материальными точками.

Центром инерции системы тел называют такую точку, скорость перемещения которой, умноженная на массу всей системы, дает импульс всей системы. Исходя из этого определения, запишем:

или

,

где радиус-вектор центра инерции системы тел, а – радиус-векторы каждого тела. Тогда

,

а радиус-вектор центра инерции

^.

Центром масс системы тел называют точку, в которую сжалась бы система покоящихся тел, подверженная только силам всемирного тяготения (при условии, что тела могли бы сжиматься до бесконечно малых размеров). В однородном поле тяготения центр масс и центр инерции системы тел совпадают.

1.4.3. Уравнение движения центра масс

Понятие центра масс позволяет придать уравнению, выражающему второй закон Ньютона для системы тел, иную форму. Для этого достаточно представить импульс системы как произведение массы системы на скорость ее центра масс:

Тогда

Получили уравнение движения центра масс, согласно которому центр масс любой системы тел движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в нем, и к нему были бы приложены все внешние силы. Если сумма внешних сил равна нулю, то , а, значит, , т. е. центр масс (инерции) замкнутой системы покоится или перемещается равномерно и прямолинейно. Другими словами, внутренние силы взаимодействия тел не могут придать какое-либо ускорение центру масс системы тел и изменить скорость его движения.

Скорость центра масс определяется полным импульсом механической системы, и перемещение центра масс характеризует движение этой системы как единого целого.

4. Движение тела переменной массы

Движение некоторых тел происходит благодаря изменению их массы. Рассмотрим движение тела переменной массы на примере ракеты, движущейся благодаря выбросу потока газов, образовавшихся при сгорании топлива. Пусть в некоторый момент отсчета времени t скорость ракеты относительно Земли равна . Выберем такую систему отсчета, которая в данный момент времени движется относительно Земли равномерно и прямолинейно с такой же скоростью . В этой системе отсчета ракета в момент времени t покоится. Переменная масса ракеты в этот момент времени равна m. Скорость потока газов относительно ракеты примем постоянной и равной (рис. 1.18). Пусть на ракету действует постоянная сила , например, сила сопротивления атмосферного воздуха.

Запишем изменение импульса системы для бесконечно малого промежутка времени dt. В момент времени t+dt масса ракеты равна m+dm. Так как dm < 0, то отделяемая масса равна – dm. Скорость ракеты за время dt получит приращение . Изменение импульса ракеты равно

Рис.1.18.

Изменение импульса отделяемой массы:

Здесь – скорость потока газов в выбранной нами системе отсчета. Согласно второму закону Ньютона для системы тел

,

откуда следует, что

и

.

Разделив на dt, приходим к уравнению динамики переменной массы, впервые полученному российским физиком Мещерским:

,

или

Величину называют реактивной силой. Эта сила тем больше, чем больше скорость изменения массы. Для тела постоянной массы реактивная сила равна нулю. Если масса тела уменьшается (), то реактивная сила направлена в сторону, противоположную скорости . Если масса тела увеличивается (), то реактивная сила сонаправлена с

Теперь рассмотрим случай, когда внешних сил нет. В проекции направление движения ракеты уравнение Мещерского примет вид:

или

Интегрируя это выражение, получим:

Константу интегрирования C определим из начальных условий. Если в начальный момент отсчета времени t = 0 скорость ракеты равна нулю, а масса, то и Тогда

Это соотношение носит имя российского ученого К.Э. Циолковского и лежит в основе ракетостроения.