-
Движение по окружности
Если материальная точка движется по окружности, то её положение при заданном радиусе окружности R вполне определяется углом , который составляет радиус-вектор , проведённый из центра окружности, с осью отсчёта Оx (рис. 1.6). В данном случае начало отсчета координат выбрано в центре окружности, и модуль радиус-вектора равен радиусу окружности (r = R). Зависимость полностью задаёт движение материальной точки по окружности радиуса R. Угол поворота измеряется в радианной мере.
Рис. 1.6.
Углом в 1 радиан называют такой центральный угол, длина дуги которого s равна её радиусу R. Приблизительно такой угол показан на рис. 1.6. Чтобы определить произвольный угол в радианной мере, надо узнать, сколько раз радиус R укладывается в дуге окружности:. Единица измерения радиан не имеет размерности. Угол в 1 оборот равен 2 радиан. Чтобы определить дугу окружности, надо её радиус умножить на центральный угол в радианной мере:
Сопоставим бесконечно малому углу поворота d вектор, направленный перпендикулярно плоскости вращения и связанный с направлением вращения правилом правого винта или буравчика, (рис. 1.7). Если материальная точка движется по окружности против часовой стрелки, то вектор направлен вдоль оси вращения вверх (рис. 1.7, а) в сторону поступательного движения винта. Если материальная точка движется по часовой стрелке, то вектор направлен вдоль оси вращения вниз (рис. 1.7, б).
Длина дуги окружности
Это соотношение выражает связь между линейным и угловым путем материальной точки при ее движении по окружности. Учитывая, что, получим, что модуль перемещения . Векторы , и взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис. 1.7), значит, вектор перемещения можно представить в виде векторного произведения векторов углового пути и радиус-вектора (см. Приложение):
. (1.1)
Быстроту движения материальной точки по окружности характеризует угловая скорость. Вектор угловой скорости равен
и направлен в ту же сторону, что и (рис. 1.7). Модуль вектора угловой скорости, а единица измерения . Разделив обе части уравнения (1.1) на dt, получим . Здесь – скорость движения материальной точки по траектории (линейная скорость, – вектор угловой скорости. Таким образом, получаем связь линейной и угловой скорости точки при движении по окружности в векторной форме:
Рис. 1.7.
Так как угол между векторами и равен 90° , а , то по модулю
Если начало отсчета координат выбрать не в центре окружности, а в произвольной точке на оси вращения, то при движении точки по окружности радиус-вектор будет вращаться по конической поверхности (рис. 1.8) или, как говорят, прецессировать. Уравнение прецессии имеет вид:
,
вектор угловой скорости прецессии радиус-вектора . По модулю правая часть равенства равна , где – угол между векторами и . Учитывая, что , получим – модуль линейной скорости материальной точки, вращающейся по окружности радиуса R.
Рис. 1.8.
По уравнению вида можно судить, что вектор прецессирует с угловой скоростью, равной вектору .
Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения , равный производной угловой скорости по времени:
Представим вектор угловой скорости в виде , (где – единичный вектор в направлении вектора). Расписав производную произведения, получим:
Если ось вращения не меняет положения в пространстве, то не изменяется, и второе слагаемое равно нулю. Тогда
Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения (рис. 1.9). Он сонаправлен c , еcли модуль угловой скорости увеличивается () и противоположен , если модуль угловой скорости уменьшается (). Модуль углового ускорения, а единица измерения
Если векторы и сонаправлены или противоположны, то же самое можно сказать и о векторах и (рис. 1.9, а, б). В случае, изображенном на рис. 1.9 (a) угловая и линейная скорости движения увеличиваются – движение ускоренное. На рис. 1.9 (б) и , и уменьшаются – движение замедленное.
Выразим через угловые характеристики движения компоненты линейного ускорения и . Модуль тангенциального ускорения . Учитывая, что , получим:
или .
Рис. 1.9.
Модуль нормального ускорения Иначе
Тангенциальную и нормальную компоненты ускорения можно выразить через угловые характеристики движения и в векторной форме. Если взять начало отсчета координат в центре окружности, по которой движется материальная точка, то радиус-вектор этой точки совпадет с радиусом окружности R. Примем в этом случае для радиус-вектора обозначение (рис. 1.9). Тогда в векторной форме , а или
Если угловая скорость движения не изменяется, то каждый полный оборот материальной точки по окружности совершается за одно и то же время, называемое периодом вращения Т. Если в единицу времени (1 с) совершается ν оборотов, то период Т = 1/ν. Иначе число оборотов в единицу времени ν называют частотой вращения. Угловая скорость при равномерном вращении . Угловой путь за один оборот равен 2 радиан, тогда