5. Элементы динамики сплошных сред

1.9.1. Неразрывность струи

Помимо движения твердых тел механика рассматривает также движение сплошных сред – жидкостей и газов. Течение жидкости представляет собой сложное явление. Для упрощения его описания вводят модельное представление об идеальной жидкости. В такой жидкости слои, перемещаясь друг относительно друга, не испытывают трения.

Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с вектором скорости . Эти линии называют линиями тока. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Если вектор скорости в каждой точке остается постоянным, то течение жидкости называют стационарным. Поток жидкости может быть близок к стационарному только при малой скорости движения.

Рассмотрим трубку тока с переменным поперечным сечением S (рис. 1.69). Эту трубку можно представить себе как обычную трубу переменного сечения, только при движении по такой трубе жидкость не должна взаимодействовать с ее стенками. Пусть сечения трубы S₁ и S₂ находятся на разных высотах h₁ и h₂. Будем считать скорость жидкости постоянной в пределах одного сечения. За время t жидкость в трубе сечением S₁ переместится на расстояние , а в трубе сечением S₂ на расстояние , скорости движения жидкости в трубах. Объемы жидкости, прошедшей через сечения S₁ и S₂ соответственно равны:

Рис. 1.69

Если жидкость несжимаема, то и .

Следовательно, для несжимаемой жидкости величина произведения в любом сечении одной и той же трубки тока одинакова. Это заключение представляет собой теорему о неразрывности струи.

Таким образом, чем больше сечение трубки тока, тем меньше скорость движения жидкости и наоборот.

Так как скорость движения жидкости не изменяется со временем, то изменения, произошедшие в объеме, заключенном между сечениями S₁ и S₂ за время t, сводятся к перемещению массы m = V ( - плотность жидкости) от первого сечения ко второму.

1.9.2. Уравнение Бернулли

При переходе жидкости с участка с большим сечением на участок с меньшим сечением скорость движения возрастает, следовательно, жидкость движется с ускорением. В горизонтальной трубе это ускорение возникает благодаря разности сил давлений F₁ = p₁S₁ и F₂ = p₂S₂, действующих на жидкость в сечениях S₁ и S₂. Если участки трубы расположены на разной высоте, то ускорение создается совместным действием сил тяжести и давления. При перемещении массы жидкости m от сечения S₁ к сечению S₂ эти две силы совершают над жидкостью работу.

Работа сил давления А_д над массой m при ее перемещении от сечения S₁ к сечению S₂ находится как:

Работа сил тяжести А_т над массой жидкости m при этом равна:

Полная работа результирующей силы найдется как сумма этих работ:

Полученная работа идет на приращение кинетической энергии рассматриваемой массы жидкости:

Приравнивая совершенную работу к изменению кинетической энергии, получим

Собирая слагаемые с индексом 2 слева, а с индексом 1 справа, придем к выражению:

.

Отсюда следует, что

Последнее соотношение было получено в 1738 году швейцарским физиком Бернулли и носит его имя. Оно выражает закон сохранения энергии для стационарно текущей идеальной жидкости. Величину p называют статическим давлением (это давление показывал бы манометр, движущийся вместе с жидкостью), динамическим давлением, а гидростатическим давлением.

Для горизонтальной трубки тока и уравнение Бернулли принимает вид:

Здесь сумму статического и динамического давлений называют полным давлением. Согласно уравнению Бернулли полное давление в горизонтальной трубке тока есть величина постоянная. Отсюда следует, что в узких местах трубки тока, где скорость течения выше, статическое давление р будет меньше, а в широких местах, где скорость ниже, статическое давление, напротив, будет больше.