-
Закон сохранения момента импульса
Пусть имеется система n тел, взаимодействующих только друг с другом. Внешние силы либо отсутствуют, либо сумма моментов этих сил равна нулю. Под действием этих сил тела могут участвовать как в поступательном, так и во вращательном движении.
Запишем для каждого тела уравнение динамики (уравнение моментов):
.
Сложим левые и правые части этих уравнений. В левой части сумма моментов сил взаимодействия согласно п. 1.8.1 равна нулю. В правой части сумма производных равна производной суммы. Тогда , и
Назовем векторную сумму моментов импульсов тел, входящих в систему, моментом импульса системы тели сделаем вывод. Во всякой изолированной системе тел момент импульса системы есть постоянная величина.
-
Гироскопы
Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии (рис. 1.66). Собственный момент импульса гироскопа направлен, как и вектор , вдоль оси гироскопа. При попытке вызвать поворот оси наблюдается гироскопический эффект. Он заключается в следующем. Попробуем повернуть ось гироскопа, действуя на нее парой сил и , перпендикулярных к оси вращения гироскопа. Под действием этой пары сил ось гироскопа, казалось бы, должна повернуться вокруг горизонтальной оси . Однако ось гироскопа поворачивается вокруг горизонтальной оси . Такое поведение гироскопа полностью соответствует закону динамики вращательного движения . Момент пары сил направлен вдоль оси . За время момент импульса гироскопа получит приращение , имеющее такое же направление, как и вектор , т. е. вдоль оси .
Рис. 1.66.
За время dt вектор , а, следовательно, и связанная с ним ось гироскопа повернутся вокруг оси на угол равный . Учитывая, что , угол поворота , а угловая скорость прецессии (поворота) оси гироскопа . Перепишем это соотношение в виде: . Векторы , и взаимно перпендикулярны (вектор направлен вдоль оси ), поэтому связь между ними можно записать в векторном виде
. (1.13)
Рассмотрим эффект, возникающий при вынужденном вращении с угловой скоростью кольца, во внутреннем пазу которого закреплена в подшипниках ось гироскопа (рис. 1.67). Приращение момента импульса гироскопа создает момент пары сил взаимодействия между осью гироскопа и подшипниками. Ось же гироскопа в соответствии с третьим законом Ньютона будет действовать на подшипники с противоположными силами ( и ), эти силы называют гироскопическими силами. Они создают гироскопический момент сил , действующих на подшипники, противоположный моменту сил , действующему на ось гироскопа. То есть или . Под действием этого момента подшипники с осью гироскопа будут поворачиваться в пазу кольца, в данном случае против часовой стрелки, до тех пор, пока ось гироскопа не установится параллельно оси вращения кольца. При этом направление собственного вращения гироскопа совпадает с направлением вращения кольца. Векторы и станут параллельными, а момент гироскопических сил станет равным нулю.
Рис. 1.67.
Подобный гироскопический эффект, связанный с возникновением гироскопического давления на подшипники, наблюдается, например, у роторов турбин на кораблях при поворотах и качке, у винтовых самолетов при виражах и т. п.
В результате гироскопического эффекта гироскоп стремится расположить ось своего вращения таким образом, чтобы она образовала возможно меньший угол с осью вынужденного вращения обоймы, в которой находятся подшипники оси гироскопа и чтобы оба вращения совершались в одном и том же направлении.
Рассмотрим гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки , допустим, точки опоры оси гироскопа на горизонтальную поверхность (рис. 1.68). Расстояние от точки до центра масс гироскопа равно . Ось гироскопа отклонена от вертикального положения на угол . Тогда на ось гироскопа действует вектор момента силы тяжести направленный перпендикулярно плоскости, образованной осью гироскопа и вертикалью. На рис. 1.68 вектор направлен за плоскость чертежа. В ту же сторону направлен и вектор . В результате вектор , а, следовательно, и ось гироскопа будут прецессировать, т. е. вращаться вокруг вертикали с угловой скоростью , направленной вверх. Векторы , и образуют правовинтовую систему.
Выразив момент силы из уравнения (1.13) (), и приравняв его к моменту силы тяжести относительно точки (см. рис. 1.68, ), получим уравнение , из которого определим угловую скорость прецессии гироскопа
.
Если точку опоры поместить в центр тяжести гироскопа, то момент силы тяжести станет равным нулю, и мы получим так называемый свободный симметричный волчок. Это можно осуществить с помощью карданова подвеса. Карданов подвес состоит из двух колец, внешнее из которых свободно поворачивается вокруг вертикальной оси (оси ), а внутреннее – вокруг горизонтальной оси (оси ). Ось гироскопа направлена вдоль оси y и опирается на внутреннее кольцо, что обеспечивает ей возможность свободно поворачиваться в пространстве в любых направлениях. В силу отсутствия момента внешних сил выполняется закон сохранения момента импульса вращающегося гироскопа. Вектор , а, следовательно, и ось вращения гироскопа сохраняют своё направление в пространстве, как бы ни перемещался карданов подвес. На этом принципе устроен гироскопический компас.
Рис. 1.68.