5. Работа, совершаемая при вращательном движении

Рассмотрим произвольное тело, которое совершает вращательное движение под действием тангенциальной силы (рис.1.64). При повороте на некоторый угол совершается работа , где . Тогда . Учитывая, что есть момент силы относительно оси , получим:

.

Для нахождения полной работы проинтегрируем это выражение:. Если M_z = const., то в этом случае .

Рис. 1.64

5. Кинетическая энергия вращающегося тела

Разобьем мысленно вращающееся твёрдое тело на систему материальных точек. Кинетическая энергия каждой материальной точки . Учитывая, что , получим . Тогда кинетическая энергия вращающегося тела (угловая скорость постоянна для всех материальных точек тела и вынесена за знак интеграла). Интеграл есть момент инерции этого тела относительно оси , т. е.

.

Умножив числитель и знаменатель на момент инерции , и, учитывая, что получим:

.

Если тело катится, то оно участвует в двух движениях: поступательном движении центра масс и во вращательном движении вокруг оси, проходящей через этот центр масс. Кинетическая энергия катящегося тела

.

Здесь – линейная скорость центра масс, I₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

5. Основной закон динамики вращательного движения

_{Тангенциальная сила} , совершая работу dA = M_zdφ, увеличивает кинетическую энергию вращающегося тела на :

.

Возьмём дифференциал кинетической энергии вращения : . Получим: . Разделим обе части этого равенства на промежуток времени . Тогда . Учитывая, что есть модуль угловой скорости ω, после сокращений получим:

,

где – проекция вектора углового ускорения на ось z.

Полученная формула представляет собой основной закон динамики вращательного движения. Векторное равенство

справедливо в случае, когда вектор момента силы направлен вдоль оси вращения (рис. 1.65). Для вращательного движения этот закон играет роль второго закона Ньютона .

Отсюда вытекает физический смысл момента инерции тела относительно оси вращения. Если на два тела, обладающих разными моментами инерции, подействовать одним и тем же моментом силы, то тело, обладающее большим моментом инерции, получит меньшее угловое ускорение. Момент инерции есть мера инертности тела для вращательного движения.

Рис. 1.65.

5. Уравнение моментов

В центральном поле тяготения многие тела (планеты, спутники) движутся по замкнутым траекториям – орбитам. Законом динамики орбитального движения тела является второй закон Ньютона

.

Выберем некоторую точку О. Умножим векторно обе части этого равенства слева на радиус-вектор , проведенный из точки к центру масс тела

. (1.10)

Орбитальный момент импульса тела . Возьмем производную по времени обеих частей этого равенства: . Вектор равен скорости движения центра масс тела и совпадает по направлению с вектором импульса тела , поэтому , и, следовательно

. (1.11)

Сравнивая (1.10) и (1.11) и учитывая, что есть момент равнодействующей силы относительно точки , получим

. (1.12)

Момент равнодействующей силы относительно некоторой точки выбранной системы отсчета равен производной по времени орбитального момента импульса тела относительно той же точки .

Если тело одновременно участвует и в поступательном, и во вращательном движениях, то необходимо учитывать как орбитальный, так и собственный момент импульса тела. Полный момент импульса тела равен векторной сумме этих моментов , а закон динамики имеет вид (1.12), где – результирующий момент всех сил, действующих на тело, – полный момент импульса тела.