1.8.2. Момент пары сил
Парой
сил называют две равные
по величине противоположные по направлению
силы, не лежащие на одной прямой. 
Пусть на плоскую пластинку (на рис.1.49 она находится в горизонтальной плоскости) в точках 1 и 2 действует пара сил . Возьмём произвольно точку О и найдём сумму моментов этих сил относительно нее: . Учитывая, что , получим или . Вектор – это вектор, проведённый от точки приложения силы к точке приложения силы , тогда . Как видим, момент пары сил не зависит от выбора точки О. По правилу буравчика вектор направлен вертикально вверх, а модуль момента пары сил . Обозначим – плечо пары сил (кратчайшее расстояние между линиями действия сил). Учтем, что , и получим величину момента пары сил: .
Рис. 1.49.
-
Момент импульса и момент инерции материальной точки
Вектором момента импульса движущейся материальной точки относительно произвольной точки О называют векторное произведение радиус-вектора на вектор импульса этой точки. Радиус-вектор проведен из точки О к движущейся материальной точке (рис. 1.50):
.
Рис. 1.50.
Направление вектора определяется по правилу буравчика, как и для вектора . Модуль вектора момента импульса материальной точки
,
где
h — плечо
импульса
(рис. 1.50). Плечо
импульса есть кратчайшее расстояние
от точки О до
линии действия импульса (длина
перпендикуляра, опущенного на линию
действия импульса).
Моментом импульса материальной точки относительно произвольной оси z называют скалярную величину Lz равную проекции вектора момента импульса , найденного относительно произвольной точки оси z, на эту ось:
.
Рис. 1.51.
Здесь R – расстояние от материальной точки до оси вращения, – касательная компонента вектора импульса материальной точки (см. рис. 1.51).
Если материальная точка движется по окружности, то целесообразно за точку О выбрать центр окружности. В этом случае вектор момента импульса будет направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта (рис. 1.52), а модуль момента импульса . Линейная скорость связана с угловой скоростью соотношением , тогда . Обозначив произведение как I и, учитывая, что угловая скорость совпадает по направлению с вектором , запишем
Рис. 1.52.
.
Величину называют моментом инерции материальной точки.
1.8.4. Момент инерции твердого тела
1.8.4.1. Момент инерции и собственный момент импульса
Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси z, проходящей через центр масс этого тела (рис. 1.53). Разобьём тело на систему материальных точек с массами . Вектор момента импульса i-й материальной точки относительно центра масс С равен: , а модуль этого вектора .
Найдем проекцию вектора на ось вращения z: . Из заштрихованного треугольника (рис. 1.53) видно, что , где – расстояние от i-й точки до оси вращения (радиус вращения). Тогда и, учитывая, что , где – угловая скорость вращения тела, получим .
Рис. 1.53.
Момент импульса тела относительно оси вращения равен сумме проекций моментов импульсов материальных точек, из которых состоит тело, на ось вращения. То есть момент импульса тела относительно оси z равен . Все точки тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, тогда .
Величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела I относительно данной оси:
.
Суммирование проводится по всем элементарным массам , на которые мысленно разбито тело. Чем меньше элементарные массы , тем более точным является выражение для момента инерции тела относительно оси вращения. В предельном случае задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию:
.
Тогда момент импульса тела относительно оси вращения z равен:
.
Если у твердого тела ось симметрии совпадает с осью вращения, то векторы моментов импульсов и материальных точек, симметричных относительно оси вращения, при суммировании дают результирующий вектор момента импульса, лежащий на оси вращения (см. рис. 1.54). По правилу правого винта его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости . Тогда вектор момента импульса всего тела по отношению к центру масс С будет равен
Рис. 1.54.
.