1.7.9. Связь массы, импульса и энергии в релятивистской механике

Приращение кинетической энергии материальной точки равно работе равнодействующей силы :

.

Возведём обе части равенства в квадрат и умножим на знаменатель. Получим . Теперь умножим обе части равенства на с². Получим:. Продифференцировав это равенство и проведя сокращения, придем к и . Тогда . Отсюда следует, что

или

Величину называют полной энергией тела, а величину – энергией покоя тела. Кинетическая энергия тела равна разности этих двух энергий.

.

Значения и не зависят от выбора инерциальной системы отсчёта. Для элементарной частицы они являются неизменными характеристиками. Масса и энергия покоя системы частиц зависят от состава системы и от её внутреннего состояния.

Выразим полную энергию частицы через её импульс.

.

Возведем обе части этого равенства в квадрат и освободимся от знаменателя. Получим: . Учитывая, что , получим .

Произведение массы частицы на скорость ее движения есть импульс этой частицы, тогда после сокращения на уравнение примет вид или, с учетом того, что ,

.

5. Динамика твердого тела

1.8.1. Момент силы

Вектором момента силы относительно произвольной точки О называют векторное произведение радиус-вектора на вектор силы , где радиус-вектор проведён из точки О к точке приложения силы (рис. 1.44):

.

Рис. 1.44.

Направление вектора определяется по правилу буравчика (правого винта). Векторы , и образуют правовинтовую систему: рукояткой буравчика служит вектор , конец рукоятки надо вращать в направлении вектора , тогда поступательное движение буравчика укажет направление вектора (см. рис. 1.45). Условимся вектор, направленный за плоскость чертежа обозначать символом , а направленный к нам символом . Так, на рис. 1.44 вектор направлен от нас, что показано знаком .

Рис. 1.45.

Модуль момента силы

,

где α – угол между векторами и . Произведение есть плечо силы – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы (см. рис. 1.44). Тогда модуль момента силы

.

За единицу момента силы принимают момент, созданный силой в 1 Н с плечом равным 1 м: .

Рис. 1.46.

Разложим вектор силы на две составляющих: радиальную и тангенциальную . Как видно из рис. 1.46, , тогда модуль момента силы

  .

Момент силы, взятый относительно точки, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой точки. Если сила направлена вдоль радиус-вектора, ее плечо равно нулю. Такая сила не может вызывать поворот тела вокруг точки О. Этот поворот вызывается только тангенциальной (касательной) компонентой силы , направленной перпендикулярно радиус-вектору.

Результирующий момент сил взаимодействия тел всегда равен нулю. Действительно, для двух взаимодействующих материальных точек согласно третьему закону Ньютона , т. е. силы равны по величине, противоположно направлены и расположены на прямой, соединяющей взаимодействующие точки. Моменты этих сил относительно произвольной точки О будут равны по модулю, так как эти силы обладают одним и тем же плечом (см. рис. 1.47), и противоположно направлены: , .

Рис. 1.47.

Рассмотрим произвольное тело, имеющее ось вращения z, которая закреплена в подшипниках (рис. 1.48). На это тело действует сила , которую можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие . Силы и не вызывают вращения тела, а вызывают деформацию оси в подшипниках. Сила создаёт вращающий момент.

Рис. 1.48.

Вектор момента силы относительно произвольной точки О, взятой на оси вращения, равен ,– радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы. Модуль этого момента (угол между векторами и равен 90°, ). Найдём проекцию вектора на ось вращения z (см рис. 1.48): . Из заштрихованного треугольника видно, что , где – кратчайшее расстояние от точки приложения силы до оси вращения (радиус вращения точки приложения силы). Таким образом, момент силы относительно оси вращения равен:

и не зависит от выбора точки О. Этот момент тем больше, чем больше расстояние от точки приложения силы до оси вращения. Мы наблюдаем это, когда пользуемся отверткой, обычным дверным ключом. Дверь также гораздо легче открыть, нажимая на нее около ручки, а не около петель.

Если сила по отношению к оси z создаёт правовинтовое вращение, то момент этой силы принимает положительное значение , при левовинтовом вращении .

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент относительно оси вращения z равен алгебраической сумме моментов всех сил: с учетом направлений вращения, создаваемых этими силами.

Момент силы, взятый относительно оси, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой оси. Моменты сил и относительно точки О (рис.1.48) не равны нулю, однако проекции этих моментов на ось вращения z имеют нулевое значение. Такие силы не могут вызвать поворот тела относительно данной оси.