1.7.4. Относительность длин

Из преобразований Лоренца следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчёта, уменьшается в направлении движения. Это изменение продольного размера тела при его движении называется лоренцевым сокращением.

Пусть – длина стержня, покоящегося в системе отсчёта . Стержень расположен вдоль оси . Для измерения его длины наблюдатель в системе может отмечать координаты его концов и в разные моменты времени и . Длина стержня в этой системе . Длина того же стержня в системе отсчёта K, относительно которой он движется вместе с системой , равна разности координат концов стержня и , измеренных в один и тот же момент времени . Запишем преобразования Лоренца для координат и .

Вычитая из верхнего равенства нижнее, получим

.

Так как , то или

Как видим, размеры тела относительны. Они максимальны в той инерциальной системе отсчёта, относительно которой тело покоится. Эти размеры тела называются его собственными размерами.

Поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.

1.7.5. Пространственно-временной интервал

Интервалом или пространственно-временным интервалом между двумя событиями называется величина

,

где – промежуток времени между этими событиями (по часам системы , а – расстояние между точками, в которых совершаются эти два события.

Из преобразований Лоренца следует, что интервал между двумя событиями инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчёта, т. е. не изменяется при переходе от движущейся инерциальной системы отсчёта к неподвижной системе K:

,

где .

1.7.6. Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть материальная точка движется со скоростью в движущейся системе отсчёта . В неподвижной системе отсчёта K скорость этой точки запишется как . Используя преобразования Лоренца, найдём связь между проекциями скоростей точки на оси координат в системах K и . Запишем преобразования Лоренца для бесконечно малого промежутка времени:

Тогда . Разделив каждый член этой дроби на и учитывая, что , получим:

.

Для проекции скорости на ось y имеем: . После деления числителя и знаменателя на выражение принимает вид:

.

Аналогично получим выражение для проекции скорости на ось :

.

1.7.7. Релятивистская масса

В релятивистской механике, как и в ньютоновой, импульс материальной точки пропорционален её массе и совпадает по направлению со скоростью этой точки. Однако, в отличие от классической механики, импульс материальной точки является нелинейной функцией её скорости

.

Такой импульс называют релятивистским импульсом. Величину

называют релятивистской массой, а m₀  массой покоя материальной точки. В той системе отсчета, где материальная точка неподвижна, ее масса равна m₀.

1.7.8. Основной закон релятивисткой механики

Скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей сил, действующих на эту точку, т. е.

или .

Ускорение, сообщаемое материальной точке этой силой:

.

Следовательно, ускорение материальной точки, вообще говоря, не совпадает по направлению с силой, вызывающей это ускорение.

Вектор коллинеарен силе только в двух случаях:

• сила направлена перпендикулярно скорости точки (поперечная сила), так что , и

;

• сила направлена параллельно скорости точки (продольная сила), так что , и

.