5. Потенциальная кривая

График зависимости потенциальной энергии тела от координат называют потенциальной кривой. Например, потенциальная кривая гравитационного взаимодействия изображена на рис. 1.27. Пусть диссипативных сил нет, а потенциальная энергия тела зависит только от координаты х каким-либо произвольным образом (рис. 1.33). Проанализируем эту кривую. Полная механическая энергия тела W представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергий. Чем меньше потенциальная энергия тела, тем больше кинетическая. В областях х < x₁ и х₃ < x < x₅, согласно рисунку, потенциальная энергия тела больше полной энергии. Такая ситуация невозможна, и эти области в классической физике недоступны для движения тела. Область между точками х₃ и x₅ называют потенциальным барьером. Пройти над барьером тело может, только имея полную энергию, большую высоты барьера W > W_п. На рис. 1.33 при заданной полной энергии W тело имеет две области, доступные для движения: от x₁ до х₃ и от х₅ до бесконечности. Область x₁- х₃ ограничена с двух сторон, и ее называют потенциальной ямой. Кинетическая энергия, а, значит, и скорость, тела на краях ямы в точках x₁ и х₃ равна нулю. Максимальную скорость тело имеет в точке х₂, соответствующей дну потенциальной ямы.

Рис. 1.33.

Определим теперь направление силы потенциального поля, действующей на тело в разных областях пространства. Воспользуемся формулой связи силы и потенциальной энергии В нашем одномерном случае

В области координат от нуля до x₂ функция W_п(х) убывает, ее производная отрицательна, проекция вектора силы на ось абсцисс положительна, сила направлена вправо. Аналогично, на участке х₂-х₄ сила направлена влево, и на участке от х₄ до бесконечности опять вправо. На рисунке направление сил показано стрелками. Видим, что в потенциальном поле действующие в нем силы “гонят” тело к минимуму потенциальной энергии.

В экстремумах функции – точках х₂ и х₄ производная потенциальной энергии по координате, а, следовательно, и сила, действующая на тело, равны нулю. Такие точки называют положениями равновесия. Видим, что при отклонении тела от положения х₂, возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело к положению равновесия. Точки, подобные х₂, называют точками устойчивого равновесия. Силы, действующие в окрестности точки х₄, напротив, стремятся удалить тело от положения равновесия. Такое равновесие будет неустойчивым.

5. Соударение тел

Наиболее ярко действие законов сохранения импульса и механической энергии проявляется при столкновении тел. Если обусловленное столкновением взаимодействие тел длится очень короткое время, то такое столкновение называют ударом. Во время соударения тела изменяют свой импульс. Пусть изменение импульса некоторого тела при ударе равняется Тогда, согласно второму закону Ньютона, средний модуль силы, действующей на это тело при ударе, равен

.

Поскольку время, за которое совершается удар, очень мало, то силы взаимодействия тел при ударе всегда велики, что дает основание рассматривать систему соударяющихся тел как замкнутую, пренебрегая всеми другими силами.

Будем рассматривать только такое столкновение тел, при котором их скорости направлены вдоль прямой, проходящей через центры масс этих тел. Такой удар называют центральным.

Можно выделить два предельных случая удара – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар. Степень упругости удара характеризуется коэффициентом восстановления скорости ε. Пусть тело налетает на неподвижную преграду (рис. 1.34). Тогда коэффициент восстановления скорости равен отношению нормальных к преграде компонент скорости тела после и до удара.

Для абсолютно упругого удара ε =1. Кинетическая энергия тел во время удара частично или полностью преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации тел, а затем вновь восстанавливается в форме кинетической. Потерь механической энергии при абсолютно упругом ударе не происходит. Тела полностью восстанавливают свою форму и размеры. Действуют законы сохранения импульса и механической энергии. В природе нет абсолютно упругих тел, значит абсолютно упругим столкновение тел можно считать лишь приближенно.

При абсолютно неупругом ударе ε = 0. Деформации тел носят неупругий характер. При абсолютно неупругом ударе тела слипаются и движутся дальше как единое целое, имея общую скорость. Закон сохранения механической энергии не выполняется, т. к. кинетическая энергия тел при ударе частично или полностью преобразуется в тепловую. Законом сохранения импульса при неупругом ударе пользоваться можно.

Рис. 1.34.

Рассмотрим соударение двух тел массами m₁ и m₂ и вычислим их скорости после удара и , если начальные скорости заданы и равны и . Сначала выполним расчет для случая абсолютно упругого удара (рис.1.35).

Запишем закон сохранения импульса и закон сохранения механической (в данном случае кинетической) энергии. Для энергии двойку в знаменателе всех слагаемых сразу опустим.

Рис. 1.35.

В обоих равенствах соберем слагаемые с индексом 1 слева, а с индексом 2 справа.

или, расписав разность квадратов двух переменных,

Перепишем верхнее равенство. Также запишем результат деления нижнего равенства на верхнее. Получим

.

Выразив скорости первого и второго шаров после удара, найдем, что

Или, иначе

где  вектор скорости центра масс системы шаров.

Из полученных соотношений видно следующее:

• если второе тело до удара неподвижно (), то , а . При m₁>m₂ первый шар будет двигаться в первоначальном направлении. При m₁<m₂ он отскочит в противоположном направлении. Если массы шаров равны, то второй шар приобретает скорость первого (), а первый останавливается () – происходит обмен скоростями;

• если масса второго тела очень велика (массой m₁ можно пренебречь по сравнению с m₂) , и при этом то , то есть налетающий шар “отражается” от преграды, а его скорость не меняется по величине.

Теперь рассмотрим случай абсолютно неупругого удара (рис. 1.36).

Рис. 1.36.

В этом случае для расчета скорости тел после удара можно применить только закон сохранения импульса, согласно которому

и

.

Из полученного соотношения можно заключить, что при равенстве масс тел

• если второе тело до удара покоится (), то скорость первого тела после удара делится пополам: ;

• при встречном движении с одинаковыми по величине скоростями после удара тела остановятся.

Найдем теперь, какое количество кинетической энергии переходит в тепловую форму при неупругом ударе:

Подставив значение общей скорости шаров после удара, раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

.

Отсюда видно, что возможны два случая, когда вся кинетическая энергия тел переходит в тепловую форму:

• тела равной массы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями;

• второе тело до удара покоится, и его масса намного больше, чем у первого тела (массой m₁ по сравнению с m₂ можно пренебречь).