4. Связь силы и потенциальной энергии

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии W_п. Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Пусть некоторое тело перемещается в потенциальном поле. При этом силы поля совершают работу за счет убыли потенциальной энергии тела в этом поле . С другой стороны, согласно определению механической работы , где α – угол между векторами силы и перемещения. Как следует из рис. 1.29, произведение ds cosα равно dn – кратчайшему расстоянию между начальной и конечной поверхностями уровня поля. Тогда , или в векторной форме

_{В соответствии с этой формулой компоненты силы в направлениях осей декартовой системы координат можно найти как}

Векторы силы и градиента потенциальной энергии равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

_{Поясним} это на простых примерах. Вблизи поверхности Земли считаем поле силы тяжести однородным. Поверхности уровня потенциальной энергии представляют собой параллельные горизонтальные плоскости. Потенциальная энргия W_п = mgh растет с высотой, следовательно, нормаль к поверхностям уровня следует направить вертикально вверх (рис. 1.30, a), и dn = dh. В ту же сторону направлен и вектор градиента потенциальной энергии grad W_п. Сила тяжести направлена в противоположную сторону, т.е. вниз. По модулю оба вектора равны изменению потенциальной энергии на единицу длины в направлении нормали :

Рис. 1.30.

Вдали от поверхности Земли ее гравитационное поле можно рассмотреть как центральное. Поверхности уровня потенциальной энергии представляют собой сферы, центры которых совпадают с центром Земли (рис. 1.30, б). Потенциальная энергия тела массой m равна и возрастает по мере удаления от Земли (r – расстояние до ее центра). Нормаль к сферическим поверхностям направлена вдоль радиальных линий наружу (dn = dr) и указывает направление вектора grad W_п. Сила тяготения направлена к центру Земли,.

5. Потенциальная энергия взаимодействия

Пусть имеется некоторая система взаимодействующих тел (см. рис. 1.31), где  – равнодействующая внутренних сил, действующих на i-е тело.

Потенциальная энергия взаимодействия тел системы – это физическая величина, равная работе, совершаемой силами взаимодействия при изменении расположения тел из данного состояния в состояние, в котором потенциальная энергия взаимодействия условно принимается равной нулю. Например, в состояние, когда тела будут бесконечно удалены друг от друга.

Рис. 1.31.

5. Закон сохранения механической энергии

Рассмотрим систему, состоящую из n взаимодействующих частиц (рис. 1.32). Силы взаимодействия будем считать консервативными. Эта система находится во внешнем потенциальном силовом поле. Пусть на частицы действуют также диссипативные силы.

Применим к каждой частице второй закон Ньютона. Для i-й частицы:

Рис. 1.32.

,

где – сила, действующая со стороны внешнего потенциального поля, – равнодействующая внутренних консервативных сил, – диссипативная сила.

Умножим скалярно левую и правую части этого равенства на перемещение i-й частицы . Учитывая, что , получим:

_.

Правая часть равенства представляет собой дифференциал кинетической энергии, т. е.

.

Просуммируем такие равенства по всем частицам системы:

.

Первое слагаемое есть работа сил внешнего потенциального поля по перемещению частиц системы. Она равна уменьшению потенциальной энергии этих частиц во внешнем поле: . Второе слагаемое дает работу внутренних сил взаимодействия частиц, равную уменьшению потенциальной энергии взаимодействия . Третье слагаемое – работа неконсервативных сил.

Стоящая в правой части равенства сумма дифференциалов есть дифференциал суммы, который равен изменению кинетической энергии частиц системы, т. е.. Таким образом, приходим к тому, что

,

,

или

.

Выражение в скобках является полной механической энергией частиц системы W. Если нет неконсервативных сил , то и , cледовательно,

Сформулируем закон сохранения механической энергии системы тел.

Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Если на тела системы действуют неконсервативные силы, безразлично, внутренние или внешние, то работа этих сил равна изменению механической энергии системы.