2. Потенциальная энергия упругих сил

Пусть закрепленная одним концом упругая пружина расположена вдоль оси х. Выберем начало координат так, чтобы в недеформированном состоянии координата свободного конца пружины была равна нулю. При растяжении или сжатии пружины эта координата принимает значение х. По определению потенциальной энергии . Согласно закону Гука , и

.

Примем, что в недеформированном состоянии (x = 0) пружина имеет потенциальную энергию равную нулю, тогда постоянная интегрирования C также равна нулю

(). Потенциальная энергия упругих сил определится выражением:

.

Графиком зависимости потенциальной энергии пружины от величины деформации х является парабола.

3. Градиент скалярного поля

Скалярным полем называют область пространства, каждая точка которого характеризуется некоторой скалярной величиной, например, температурой, освещенностью или значением потенциальной энергии материальной точки в силовом поле.

Поверхностью уровня скалярного поля называют совокупность точек пространства, в которых скалярная величина имеет одно и то же значение. Например, поверхностью уровня потенциальной энергии тела в гравитационном поле Земли является сфера. На рис. 1.28 несколько таких поверхностей показаны пунктиром. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли определяется формулой , и , когда

Рис. 1.28.

Силы поля перпендикулярны поверхности уровня. Действительно, при перемещении по поверхности уровня работа сил поля , так как потенциальная энергия на этой поверхности постоянна. С другой стороны, , следовательно, , т. е.

Рассмотрим некоторое скалярное поле (рис. 1.29). При перемещении по направлению вектора на величину Δs, мы переходим из точки P₀, в которой потенциальная энергия равна W_п, в точку P, где потенциальная энергия имеет значение W_п+ΔW_п. Производной скалярного поля по направлению вектора называют величину

Рис. 1.29.

.

Эта величина характеризует изменение скалярного поля при перемещении на единицу длины в заданном направлении. В направлении нормали к поверхности уровня изменение потенциальной энергии на единицу длины принимает максимальное значение. Из рисунка 1.29 видно, что , Δn – кратчайшее расстояние между поверхностями уровня,   угол между векторами и . Тогда и .

Введем понятие вектора градиента скалярного поля:

,

где  – единичный вектор, направленный в сторону максимального увеличения скалярного поля. Таким образом, градиент скалярного поля – это вектор, по модулю равный изменению скалярной величины (в данном случае потенциальной энергии) при перемещении на единицу длины в направлении нормали к поверхности уровня. Вектор градиента направлен перпендикулярно поверхности уровня в сторону возрастания скалярной величины.

В координатной форме вектор градиента потенциальной энергии можно записать как

.

или

где



 так называемый оператор “набла”. Оператор  это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Опрератор “набла” сочетает в себе дифференциальные и векторные свойства. Он может действовать как на скалярную, так и на векторную функцию координат. Если функция скалярная, то, действуя на нее, оператор набла дает ее градиент. Запись W_п следует читать: “градиент потенциальной энергии”.