1.5.4. Кинетическая энергия

Энергию, которой обладают движущиеся тела, называют кинетической энергией W_k.

Пусть частица массы m движется под действием некоторой силы (в общем случае сила может быть результирующей всех сил – как консервативных, так и неконсервативных). Найдем элементарную работу, которую совершает эта сила на элементарном перемещении . Имея в виду, что и , запишем величину элементарной работы как

Отсюда видно, что работа результирующей силы идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую и называют кинетической энергией:

.

Изменение кинетической энергии материальной точки при перемещении из положения 1 в положение 2 равно алгебраической сумме работ всех сил (как консервативных, так и неконсервативных), действующих на этом участке

.

5. Потенциальная энергия

То обстоятельство, что работа консервативных сил зависит только от начального и конечного положений материальной точки в силовом поле, дает возможность ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия является функцией координат точек силового поля. Силы поля, перемещая материальную точку, совершают работу равную уменьшению потенциальной энергии. В этом случае работа сил поля не будет зависеть от вида траектории движения тела: или , следовательно,

(1.7)

При конечном перемещении из положения 1 в положение 2:

.

Потенциальная энергия материальной точки в силовом поле зависит от вида силового поля. Чтобы записать формулу потенциальной энергии материальной точки в каком-либо силовом поле, необходимо проинтегрировать выражение (1.7):

Неопределенный интеграл находится с точностью до постоянной интегрирования С. Эта постоянная определяется выбором точки силового поля, в которой потенциальная энергия условно принимается равной нулю.

1. Потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли

Рассмотрим потенциальную энергию тела, поднятого над поверхностью Земли на относительно небольшую высоту h << R, где R – радиус Земли. Тогда гравитационное поле Земли можно считать однородным. Сила тяжести , перемещая тело из 1‑го состояния во 2‑е, совершает работу А, равную произведению модулей силы и перемещения. Перемещение равно разности координат у₁ и у₂ (см. рис. 1.26). В свою очередь эта работа равна уменьшению потенциальной энергии:

Рис. 1.26.

.

Раскрыв скобки, запишем:

. Из этого равенства следует, что зависимость потенциальной энергии от координаты y имеет вид:

.

Постоянная С не влияет на разность значений потенциальной функции W_п в 1‑ом и 2‑ом состояниях. Она определяется выбором точки, в которой потенциальная энергия условно принимается равной нулю, допустим в точке с координатой . Тогда и . Потенциальная энергия тела в однородном гравитационном поле Земли

.

Для тела, находящегося выше уровня , потенциальная энергия положительна: , где – высота подъема тела над уровнем . Для тела, находящегося ниже уровня , потенциальная энергия отрицательна:, где , h – глубина опускания тела под уровень .

Теперь примем во внимание неоднородность гравитационного поля Земли. По определению потенциальной энергии

.

Учитывая, что , получим .

Для гравитационного поля Земли: . Проекция силы на радиус-вектор : , тогда

В бесконечно удаленной точке () значение потенциальной энергии примем равным нулю. Исходя из этого, определим постоянную интегрирования С: , т. е. С = 0. Тогда потенциальная энергия тела в гравитационном поле Земли всегда отрицательна:

Рис. 1.27.

. (1.8)

Значение потенциальной энергии с ростом расстояния r увеличивается (рис. 1.27).

Покажем, что формула (1.8) не противоречит выражению для потенциальной энергии тела в однородном гравитационном поле Земли: . Найдем по формуле (1.8) потенциальную энергию тела, поднятого над поверхностью Земли на относительно небольшую высоту h<<R): , на поверхности Земли .

Тогда

или

.

Вынесем в знаменателе R за скобки и получим:

.

Учитывая, что  – ускорение свободного падения и , запишем

.