3.3 Анализ схемы переменных направлений

Займемся теперь исследованием поведения погрешности для схемы переменных направлений (6) § 2:

+

+

Решение задачи (1) § 2 удовлетворяет уравнениям

+

+

Вычитая эти равенства из уравнений (6) § 2 почленно, получим, 1 что погрешность удовлетворяет разностной краевой задаче:

+

+

0

Имеем следующее решение этой задачи в виде конечного ряда Фурье:

где –коэффициенты разложения начальной погрешности

в конечный ряд Фурье, но числа уже другие:

= (13) Из предыдущего пункта известно неравенство:

Из выражения (13) для видно, что при любом выполнено неравенство <1 и, следовательно, имеет место стремление к нулю.

Представим в следующем виде , где

=, k=1,2,…, M-1.

Поэтому достигается при , где - тот номер, при котором величина максимальна.

Функция монотонна при . Поэтому, если взять , и заметить, что при , изменяющемся от 1 до ,

монотонно увеличивается, то можно утверждать, что

=

лежит между точками и .

,

так как

Увеличение вызывает сдвиг точек и влево. Поэтому значение будет наименьшим при том , при котором .

Заменим на (такая замена возможна, если считать аргумент достаточно близким к 0).

Тогда - оптимальный шаг, при котором происходит наиболее быстрое убывание погрешности.

=

Если разложить эту функцию в ряд Тейлора по степеням , то получим:

Поэтому для уменьшения нормы погрешности в заданное число k раз по сравнению с первоначальным значением нормы погрешности число шагов р должно быть найдено из условия

Каждый переход от к требует арифметических операций. Следовательно, общее число арифметических операций для уменьшения ошибки в заданное число k раз будет

Мы видим, что при больших М второй из рассмотренных нами процессов установления, использующий схему переменных направлений, приводит к уменьшению ошибки в заданное число раз ценой меньших затрат арифметических действий, чем метод установления, основанный на использовании простейшей явной разностной схемы (4): при достаточно больших значениях М (при мелкой сетке) схема переменных направлений оказывается выгоднее.

3.4 Выбор точности

Сделаем замечание о точности, которой следует добиваться, решая задачу (1) § 2 методом установления или другим итерационным методом, дающим последовательные приближения . Разностная задача (1) § 2 аппроксимирует задачу (2) § 2 с порядком . Поэтому точное решение задачи (1) § 2 отличается от точного решения задачи (2) § 2 на величину порядка . В связи с этим нет смысла вычислять решение u задачи (1) § 2 с большей точностью. Если считать, что нулевое приближение задано с погрешностью порядка 1, то число k должно быть выбрано порядка М.

Добиваться уменьшения первоначальной погрешности более чем в раз было бы нецелесообразной затратой вычислительной работы.

При вычислениях на конкретной фиксированной сетке практически итерируют до тех пор, пока последовательные приближения перестанут меняться в пределах удовлетворяющей нас точности.

Заключение

В данной работе были рассмотрен метод установления, а также представлены 2 программы на языке программирования С++, реализующие два алгоритма установления.

В результате было доказано, что простейшая разностная схема задачи Дирихле устойчива и аппроксимирует исходную задачу (1) со вторым порядком точности относительно h ().

Также были найдены оптимальные оценки шага , при которых происходит наиболее быстрое убывание погрешности.

При анализе схем установления было получено: алгоритм, использующий схему переменных направлений, эффективнее, чем алгоритм, использующий явную схему установления. А именно: объем вычислений для уменьшения нулевой погрешности в заданное число раз в первом случае приблизительно в сМ раз меньше, чем во втором. (-шаг сетки, с<<M-константа).

Список использованных источников

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А., Уравнения математической физики. М.: «Наука», 1972. 736 с.

2. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. М.: «Наука», 1973. 400 с.

3. Березин И.С. и Жидков Н.П. Методы вычислений. т. 1. М.: «Наука», 1965. 633c.

4. Подбельский В.В. и Фомин С.С. Программирование на языке Си. М.: «Финансы и статистика», 2000. 599 с.

Размещено на Allbest.ru