2.2. Некоторые свойства собственных значений векторов:

Все n собственных значений любой симметричной матрицы (a_ij=a_ji; i,j = 1,2,…,n) вещественны.
Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметричной матрицы, ортогональны:

, при ,

, при .

Собственный вектор матрицы, умноженный на произвольное число, также является собственным вектором.
Подобные матрицы

, где P – неособая матрица, имеют одинаковые собственные значения, их собственные вектора связаны соотношением:

2.3 Системы линейных алгебраических уравнений

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(2.3.1)

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (2.3.1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (2.3.1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (2.3.1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (2.3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (2.3.1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾.

Совместная система вида (2.3.1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

3.1 Метод Зейделя

Метод Зейделя является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений.

Возьмём систему: , где

Или

Перепишем задачу в виде:

Здесь в j-м уравнении мы перенесли в правую часть все члены, содержащие x_i , для i > j. Эта запись может быть представлена:

где в принятых обозначениях D означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы A, а все остальные нули; тогда как матрицы U и L содержат верхнюю и нижнюю треугольные части A, на главной диагонали которых нули.

Итерационный процесс в методе Зейделя строится по формуле после выбора соответствующего начального приближения .