8.4. Метод хорд
Метод половинного деления на каждой итерации i при расчете очередного приближения xi не учитывает положение по оси Оу точек функции f(x) в краях текущего доверительного отрезка [ai-1,bi-1]. В методе хорд целевая функция f(x) на этом отрезке интерполируется отрезком прямой (хордой), у которого один из отрезков закреплен и приближение xi рассчитывается как пересечение данной хорды с осью Ох. Это в общем случае позволяется ускорить сходимость метода (уменьшить число необходимых итераций) по сравнению с методом половинного деления.
Рассмотрим случай, когда закреплена точка b исходного доверительного отрезка [a; b], а точка a используется в качестве начального приближения для искомого корня: x0 = a. Таким образом, к началу каждой итерации i доверительный интервал имеет вид: [ai-1= хi-1; b]. Уравнение прямой, проходящей через точки плоcкости Охy с координатами (хi-1, f(хi-1)) и (b, f(b)), можно представить в виде:
(x - хi-1)/(bi-1 - хi-1) = (f(x) - f(хi-1))/ (f(b) - f(хi-1)). Подставляя в это условие значение f(x)=0, которое соответствует корню уравнения, получим выражение для абсциссы точки пересечения хорды с осью Ох: x = хi-1 - f(хi-1)(b - ai-1)/ (f(b)- f(хi-1)).
Внося в правой части полученной формулы все слагаемые под общий знаменатель и выполняя сокращения, получим схему итерационного процесса по методу хорд для закрепленной точки b:
x0 = a; xi = хi-1 - f(хi-1)(b - хi-1)/(f(b)- f(хi-1));(i=1,2,...). (8.8 а) При закрепленной точке b последовательность приближенных решений образует ограниченную монотонно возрастающую, ограниченную сверху точкой b (следовательно, сходящуюся) последовательность: а = x0 < x1< ... xi < b.
Аналогично рассматривается случай, когда закреплена точка a исходного доверительного отрезка [a; b], а точка b используется в качестве начального приближения для искомого корня: x0 = b. Схема итерационного имеет вид:
x0 = b; xi = хi-1 - f(хi-1)( a - хi-1)/(f(a)- f(хi-1));(i=1,2,...). (8.8 б)
При закрепленной точке а последовательность приближенных решений образует ограниченную монотонно убывающую, ограниченную снизу точкой а (следовательно, сходящуюся) последовательность: b = x0 > x1 >... > xi > а .
В отличие от метода половинного деления, точность искомого приближенного решения оценивается не по длине содержащего его итогового доверительного отрезка, а по приращениям между очередными приближенными значениями корня. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие | xi - xi - 1|< , (8.8 в)
где - заданная предельная величина приращений значения корня.
Метод всегда сходится, когда вторая производная целевой функции f''(x) сохраняет знак на отрезке [a; b]. Кратко правило выбора схемы итерационного процесса, обеспечивающего сходимость метода, можно сформулировать следующим образом: закреплен должен быть тот конец доверительного отрезка, для которого знак функции f (х) совпадает со знаком ее второй производной f'' (х).
При этом последовательные приближения xn лежат по ту сторону точного корня x*, где функция f (х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f'' (х).
Поскольку в методе хорд последовательность приближенных значений {xi} монотонно стремится к искомому точному корню, здесь не возникает ситуации со случайным попаданием в корень и можно не анализировать дополнительное условие f(xi)< f, как в методе половинного деления.
На рис.8.1 и 8.2 показан процесс приближения по методу хорд при f'' (x) > 0 в случаях f(а) > 0 (рис.8.1) и f(b) > 0 (рис.8.2).
Рис.8.1. f'' (x) > 0, f(а) > 0 Рис.8.2. f'' (x) > 0, f(b) > 0
Пример 1. Применить метод хорд для уточнения корня уравнения f(x) = x3 - 6х + 2 = 0 из примера 1 п.8.2 с точностью = 0,01 на отрезке [2;3].
Решение. Вторая производная целевой функции f''(x) > 0 на всем исходном отрезке [2;3]. Из примера 1 п.8.2 следует, что f(2)<0; f(3)>0. Следовательно, в качестве закрепленной принимаем точку 3, так как в ней знак функции f(х) совпадает со знаком второй производной f'' (х). Схема итерационного процесса с учетом f(3) = 33 - 63 + 2 = 11 принимает вид:
x0 = 2; xi = хi-1 - f(хi-1)(3 - хi-1)/(11 - f(хi-1));(i=1,2,...).
Итерация 1. x0 = 2; f(x0) = f(2) = 23 - 62 + 2 = -2. x1 = х0 - f(х0)(3 - х0)/(11 - f(х0)) = 2 - (-2)(3 - 2)/(11 - (-2)) = 2 + 2/(13) = 2,1538. Приращение | x1 - x0| = 0,1538 > , продолжаем вычисления.
Итерация 2. x1 = 2,1538; f(x1) = f(2,1538) = 2,15383 - 62,1538 + 2 = 9,9912-12,9228 + 2 = -0,9316. x2 = х1 - f(х1)(3 - х1)/(11 - f(х1)) = 2,1538 - (-0,9316)(3 - 2,1538)/(11 - (-0,9316)) = 2,2199. Приращение | x2 - x1| = 0,0661 > , продолжаем вычисления.
Итерация 3. x2 = 2,2199; f(x1) = f(2,2199) = 2,21993 - 62,2199+ 2 = 10,9396-13,3194 + 2 = -0,3798. x3 = х2 - f(х2)(3 - х2)/(11 - f(х2)) = 2,2199 - (-0,3798)(3 - 2,2199)/(11 - (-0,3798)) = 2,2459. Приращение | x3 - x2| = 0,0260 > , продолжаем вычисления.
Итерация 4. x3 = 2,2459; f(x1) = f(2,2459) = 2,24593 - 62,2459+ 2 = 10,9396-13,3194 + 2 = - 0,1469. x4 = х3 - f(х3)(3 - х3)/(11 - f(х3)) = 2,2459 - (-0,1469)(3 - 2,2459)/(11 - (-0,1469)) = 2,2558. Приращение | x3 - x2| = 0,0099 < , вычисления завершаем.
Как видно из примера, по методу хорд на поиск решения затрачено 4 итерации против 7 у метода половинного деления.
Достоинствами метода хорд является более быстрая и гарантированная сходимость к искомому корню при выполнении всех необходимых условия применения метода.
Основной недостаток - необходимость дополнительного исследования второй производной функции, что может представлять отдельную задачу.
Вопросы для проверки знаний.
1. Какое приближение применяется для целевой функции в методе хорд ?
2. Какое условие используется для завершения итерационного процесса в методе хорд ?
3. В чем заключается достаточное условие сходимости метода хорд и каково правило выбора неподвижной точки ?
4. Существует ли в методе хорд необходимость учитывать случайное попадание в корень ?
5. Какую точку следует принять в качестве закрепленной при отрицательной второй производной f'', f(а) > 0 и f(b) < 0.
Практические задания.
1. Уточнить по методу хорд корень уравнения f(x) = x4 - х - 14 = 0 с точностью = 0,05 на отрезке [1,5;3].
2. Отделить положительный корень уравнения f(x) = x3 - 0,2 x2 - 0,2 х - 1,2 = 0 и уточнить его с точностью = 0,01.