8.2.Типовая последовательность действий при численном решении нелинейных уравнений. Локализация корней

Будем рассматривать уравнения, имеющие только изолированные корни, т.е. такие решения уравнения (8.1), для которых существует окрестность, не содержащая других корней.

Обычный алгоритм численного решения нелинейного уравнения содержит два этапа.

1. Локализация (отделение) корней заключается: 1) в определении отрезков на вещественной оси R, в пределах которых содержится единственный корень уравнения, их называют доверительными отрезками либо 2) определение значений аргумента функции, достаточно близких к искомому решению, их называют начальными приближениями корней.

2. Уточнение корней - вычисление приближенных значений корней на доверительных отрезках или в окрестности начальных приближений с заданной точностью.

Численное методы решений характеризуются наличием погрешностей как самих методов, так и погрешностей вычислений, поскольку промежуточные преобразования в них производятся не в формульном виде, а в числовом.

Рассмотрим локализацию корней. Определение доверительных отрезков, содержащих корни уравнения, основано на применении теоремы Больцано–Коши, доказываемой в курсе математического анализа, и ее следствии.

Теорема Больцано–Коши. Пусть на отрезке [a,b] дана непрерывная функция f(x), имеющая различающиеся значения в крайних точках: f(a)  f(b). Тогда для любого значения С[f(a), f(b)] существует такая точка с [a, b], в которой f(с)=С.

Следствие (Теорема о нуле непрерывной функции). Если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значения (в этом случае f(a)f(b) < 0), то существует точка с[a, b], в которой f(с)=0.

Замечание. Теорема о нуле непрерывной функции гарантирует существование корня уравнения f(x)=0 на отрезке [a, b], но не гарантирует его единственности.

8.2.1. Локализация корней при помощи сканирования с постоянным шагом

Простейшим методом определения доверительных отрезков, содержащих корни уравнения f(x)=0 с непрерывной функцией f(x) в левой части, является сканирование с постоянным шагом укрупненного отрезка числовой оси [A,B], содержащего все возможные корни уравнения. По данному методу вначале, исходя из допустимого числа N вычислений функции f(x) рассчитывается шаг h=(B-A)/N и производится расчет значений функции в точках x_i = A+ hi. Среди всех анализируемых пар значений функции (f(x_i),f(x_i+1)) в качестве доверительных отрезков выбираются те, в которых выполняется условие:

f(x_i)  f(x_i+1) < 0. (8.3)

По следствию из теоремы Больцано–Коши условие (8.3.) гарантирует существование на отрезке [f(x_i),f(x_i+1)] хотя бы одного корня уравнения f(x)=0.

Надежность такого метода отделения корней уравнений зависит как от характера функции f(x), так и от выбранной величины шага h (числа N вычислений функции). Если корни функции лежат достаточно близко друг от друга, то при крупном шаге h могут возникнуть ситуации, когда:

1) при двух рядом лежащих корнях доверительный отрезок будет пропущен, поскольку f(x) на нем два раза поменяла свой знак,

2) при трех рядом лежащих корнях доверительный отрезок будет зафиксирован как содержащий только один корень, поэтому при уточнении будет найден с нужной точностью лишь один из трех корней, а два других будут потеряны.

Для предотвращения подобных ситуаций необходимо выбирать достаточно малые значения шага h. Также при поиске доверительных отрезков желательно знать возможное число корней уравнения.

Пример 1. Найти с использованием сканирования с постоянным шагом доверительные отрезки для уравнения с функцией f(x) = x³ - 6х + 2 = 0.

Решение. Алгебраическое уравнение третьей степени может иметь один или три вещественных корня. Предварительные оценки показывают, что f(-5) = -93 – отрицательное число, достаточно удаленное от оси х, f(5) = 157 – положительное число, достаточно удаленное от оси х.

х	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
знак f(x)	-	-	-	+	+	+	-	-	+	+	+

Принимая в качестве полной области поиска [A,B] отрезок [-5;5], сканируем его с шагом h=1. Результаты расчета знака функции даны в таблице 8.1.

Таблица 8.1. Знак функции в целочисленных точках отрезка [-5;5].

Ответ: анализ таблицы 8.1 показывает, что исследуемая функция имеет на вещественной оси три корня. Доверительные интервалы следующие: [-3,-2]; [0;1]; [2;3].