Типовые звенья систем ау

Идеальное усилительное звено

Идеальное усилительное (оно же безынерционное, оно же пропорциональное) звено описывается дифференциальным уравнением нулевого порядка - x=kg. Передаточная функция W(s) = k, амплитудно-фазовая частотная характеристика (частотная передаточная функция) W(j) = k, амплитудная частотная характеристика A() = k, фазовая частотная характеристика (ω) =0, h(t)=k(t), h₁(t)=k1(t).

Для широкополосного электронного усилителя k - это коэффициент усиления. Для потенциометра с изменением напряжения от U₁ до U₂ при повороте движка на угол ₀ (радиан)

k = (U₂-U₁)/₀ В/рад.

При угле поворота потенциометра равном  на его выходе образуется сигнал U_вых=k.

Для сельсина, работающего в трансформаторном режиме и запитанного напряжением U=U_mSint, напряжение на выходе U_вых = U_m sintsin, где  - угол рассогласования,  - коэффициент трансформации сельсина. При малых углах рассогласования и детектировании выходного сигнала на выходе U_вых (U_m ) .

2.2 Апериодическое (инерционное) звено.

Дифференциальное уравнение

или, используя символ дифференцирования p = d / dt,

(T₁p+1)x(t)=kg(t).

Примеры апериодических звеньев:

- RC-цепочка с выходным сигналом (pис. 1.1);

- наполняемый газом замкнутый объем;

- нагревание (охлаждение) тела при упрощенном рассмотрении т.д.

Ввиду того, что апериодическое звено часто встречается в САУ, его характеристики рассмотрим подробно.

Пусть g(t) =U₁sinωt. Ищем установившийся сигнал на выходе звена в виде

x(t)=U₂sin(t+),

где U₁ >0 – амплитуда сигнала на входе системы, U₂>0 - амплитуда сигнала на выходе системы,  - фаза сигнала на выходе звена. Подставив x(t) в уравнение звена, получим

Поскольку sin(ωt) и cos(ωt) ортогональные функции, то суммы их коэффициентов в обоих частях равенства должны быть равны:

Из первого равенства получаем фазовую частотную характеристику звена

(ω)= -arctg(T₁).

Из второго равенства ,сделав подстановку -ωT₁ = sin/cos, получим

Использовав соотношение

получим амплитудную частотную характеристику звена

Использование символической формы.

Переход к символической форме записи гармонических сигналов может быть выполнен с помощью следующего приема:

Умножая первое дифференциальное уравнение на мнимую единицу и складывая уравнения, получим

Откуда

К тому же результату, но более коротким путем, можно прийти, сразу использовав символическую запись гармонического сигнала, то есть, записав входное воздействие в виде:

Здесь, как и ранее, точка сверху обозначается комплексная переменная.

Тогда реакцию звена на это воздействие можно представить в виде

.

Символическая запись гармонического сигнала основана на его представлении в виде суммы

.

Поскольку рассматриваемое звено линейно для него верен принцип суперпозиции. Следовательно, умножение входного сигнала на постоянный коэффициент (в данном случае это 1/2j) не влияет ни на амплитудную, ни на фазовую частотные характеристики. Таким образом, для определения реакции звена на синусоидальный сигнал достаточно рассмотреть прохождение лишь одного из двух идентичных сигналов (exp(jt) или exp(-jt)).

Выражения exp(jt) и exp(-jt) изображаются на комплексной плоскости как два единичных вектора, вращающихся при изменении переменной t в противоположных направлениях.

Тогда, подставив и в дифференциальное уравнение, сократив множитель e^jt получим