2. Исследование устойчивости ас

   1. Анализ устойчивости с помощью критерия Гурвица

Запишем характеристический многочлен замкнутой системы, т.е. знаменатель передаточной функции замкнутой системы.

. (2.1)

По критерию Гурвица для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы при все главные определители матрицы Гурвица были положительными.

Запишем матрицу Гурвица.

. (2.2)

Для нашего случая достаточно, чтобы или .

, (2.3)

,

по критерию Гурвица замкнутая система устойчива.

2. Определение критического коэффициента усиления разомкнутой системы по критерию Гурвица

Для нашего случая имеем .

Критическим коэффициентом усиления разомкнутой системы называется то значение, при котором замкнутая система выходит на границу устойчивости.

Следовательно, передаточная функция разомкнутой системы будет:

_.

Характеристический многочлен замкнутой системы будет функцией двух переменных

. (2.4)

Чтобы найти решим уравнение

,

,

,

,

,

.

3. Анализ устойчивости с помощью критерия Михайлова

Формулировка критерия Михайлова.

Для устойчивости АС необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начиняясь на положительной вещественной полуоси, повернулся в положительном направлении на угол ( или закончился в четверти, номер которой совпадает порядком характеристического многочлена при изменении частоты от 0 до бесконечности). При этом годограф последовательно проходит все четверти, нигде в нуль не обращаясь.

Запишем характеристический многочлен замкнутой системы, переходя от переменной Лапласа к частоте.

. (2.5)

Система устойчива, если корни уравнений и перемежаются и являются вещественными.

,

. (2.6)

Решая уравнения (1.36), получим три действительных корня.

,

.

По критерию Михайлова система является устойчивой, т.к. выполняются следующие условия:

<<.

4. Определение критического коэффициента усиления разомкнутой системы по критерию Михайлова

   Используя критерий Михайлова, можно определить критический коэффициент усиления АС, при котором она указывается на границы устойчивости.

это определяется решением системы уравнений

(2.7)

5. Анализ устойчивости по критерию Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Автоматическая система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1,0).

Как видно из рисунка 15 АС является устойчивой по критерию Найквиста.

Рисунок 15.

6. Определение запасов устойчивости

Определим запасы устойчивости по АФЧХ (рис. 15).

Запас устойчивости по амплитуде будет ,

по фазе .

Запас устойчивости по амплитуде можно также определить по следующей формуле: .

Определим запас устойчивости по ЛЧХ(рис.13,14)

∆L- запас по амплитуде (по модулю) (дБ)

∆F- запас по фазе (°)

∆L=4 дБ; ∆F=18°

3. Качество процесса управления

   1. Анализ качества процесса управления

      1. Расчёт переходной функции на ЭВМ с помощью пакета SIAM

Используя пакет программ SIAM, построим переходную функцию (рис. 16).

Рисунок 16.

«Переходная функция»

2. Определение прямых оценок качества

1). t_P – время регулирования – это время, начиная с которого выходной сигнал отличается от установившегося значения не более чем на 2 – 3 % ( время практически полного затухания переходного процесса).

Как видно из рисунка 16 t_P=2 c.

2). ε_уст – установившаяся ошибка. ,

т.к. процесс астатический первого порядка, то .

3. Аналитический расчёт переходной функции

Передаточная функция замкнутой системы будет определятся по формуле (1.19).

, где . Чтобы найти переходную функцию будем полагать, что на вход подаётся единичный сигнал, тогда передаточная функция примет вид:

Из этой формулы найдём переходную функцию.

(3.1)

Найдём корни характеристического многочлена.

Разложим (3.1) на сумму дробей.

После обратного преобразования по Лапласу переходная функция примет вид:

(3.2)

Найдём коэффициенты А, В, С, D, E.

Подставив данные коэффициенты в формулу (3.2) получим функцию , график которой представлен на рисунке 17.

Рисунок 17.