Задание № 2 по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной"

Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение

Для вычисления интеграла, воспользуемся свойствами неопределенного интеграла ((20) – (24)) и таблицей интегралов (см. таб.2), предварительно представив подынтегральную функцию в виде суммы трех функций:

.

Прежде, чем записать ответ, целесообразно сделать проверку. Производная полученной в результате интегрирования функции должна быть равна подынтегральной функции, т.е. должно выполняться соотношение (17).

Проверка: .

Ответ: .

Задача 2. Вычислить неопределенный интеграл .

Р

ешение

1. Первый способ. Воспользуемся свойством инвариантности (24). Для этого предварительно вычислим дифференциал . Тогда и окончательно получим

2. Второй способ. Используем метод замены переменной (метод подстановки). Введем новую переменную

.

Вычислим дифференциал

,

тогда:

,

.

Вернемся к старой переменной (сделаем обратную подстановку)

.

Проверка:

.

Ответ: .

Задача 3. Вычислить неопределенный интеграл .

Решение

Заметим, что в исходном интеграле

,

тогда, внося функцию под знак дифференциала, получим

.

Проверка:

.

Ответ: .

Задача 4. Вычислить определенный интеграл .

Решение

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница (27):

.

Подставляя пределы интегрирования, получим

.

Ответ: 9.

Задача 5. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

1. Найдем неопределенный интеграл , используя метод интегрирования по частям.

В формуле интегрирования по частям (25)

положим

; .

тогда

; ,

.

Применим интегрирование по частям к последнему интегралу:

.

Таким образом,

,

откуда окончательно получим

.

2. Вычислим исходный определенный интеграл, подставляя пределы интегрирования в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница (27):

Ответ: .

Задача 6. Вычислить определенный интеграл

Решение.

Используем метод замены переменной (29). Введем новую переменную:

,

вычислим

.

Определим новые пределы интегрирования из равенства :

при x = 1 получим ,

при x = 2 получим .

Меняя переменную и вычисляя интеграл по формуле Ньютона-Лейбница (27), получим:

.

Ответ: .

Задача 7. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение.

Исходное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные, выполняя следующую последовательность действий:

1. Представим в исходном уравнении производнуюв виде :

.

2. Умножим обе части уравнения на :

3. Разделим переменные, поделив обе части уравнения на :

.

4. Проинтегрируем обе части уранения:

,

³

Преобразуем полученное ввыражение

,

,

откуда получим общее решение уравнения:

Ответ: .

Задача 8. Решить задачу Коши:

;НУ: у (0) = –3.

Решение

1. Найдем общее решение дифференциального уравнения. Так как уравнение является простейшим, то его решение находится интегрированием функции, стоящей в правой части уравнения:

.

2. Найдем значение произвольной постоянной С, соответствующее частному решению дифференциального уравнения, подставляя в общее решение начальное условие у = –3, х = 0:

.

3. Запишем частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Для этого подставим найденное значение произвольной постоянной С= –3 в общее решение уравнения:

.

Сделаем проверку:

.

Ответ: .