Решение примерного варианта контрольной работы Задание № 1 по теме "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"

Задача 1. Найти пределы функции при различных значениях a (не применяя правила Лопиталя):

y =; a = 2; a = 1; a  .

Решение

1. Рассмотрим случай, когда a = 2.

Вычислим предел, пользуясь теоремами о пределах:

.

2. Рассмотрим случай, когда a = 1.

При числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. В этом случае говорят, что мы имеем неопределенность типа и вычисление предела называют раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности выполним тождественные преобразования – разложим числитель и знаменатель на множители:

;

.

Сократим дробь на общий множитель ­ скобку

.

Функции и совпадают при всех значениях х, отличных от 1 (в окрестности точки х = 1), следовательно, их пределы при равны:

.

3. Рассмотрим случай, когда a  .

Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности при , т.е. мы имеем неопределенность типа . Для раскрытия неопределенности преобразуем дробь, разделив числитель и знаменатель на :

.

Ответ: 1/6; 0; 1.

Задача 2. Вычислить производную функций:

1). ;

2). .

Решение

1. Вычислим производную функции, пользуясь правилами дифференцирования (см.формулы (2) – (6)) и таблицей производных для основных элементарных функций (см. таб.1):

.

2. Вычислим производную функции, пользуясь правилами дифференцирования, таблицей производных и теоремой о дифференцировании сложной функции (8):

Ответ: 1) ; 2) .

Задача 3. Вычислить y' в точке x₀:

; x₀ = – 5.

Решение

1. Пользуясь правилами дифференцирования ((2) – (6)), найдем производную, как функцию от х:

=

=.

2. Вычислим производную в точке x₀ = 5.

.

Ответ: .

Задача 4. Найти экстремумы функции .

Решение

1. Найдем производную функции

.

2. Производная существует при любых значениях х. Найдем критические точки производной из условия :

.

Решив квадратное уравнение

,

получим две критические точки , .

3. Определим знаки производной слева и справа от критических точек.

Промежуток	( – , 2)	(2, 4)	(4, )
Знак	+	–	+
Функция

Знак производной меняется в критических точках , , следовательно, функция имеет в этих точках экстремумы, а именно: функция имеет максимум в точке (знак меняется с + на – ) и минимум в точке (знак меняется с – на +).

4. Определим значения функции в точках минимума и максимума, т.е. в точках , .

;

.

Ответ: , .

Задача 5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [– 4, 4].

Решение

1.Найдем экстремумы функции, лежащие внутри отрезка [– 4, 4].

Производная функции

.

Решив уравнение

,

найдем критические точки

,.

Вычислим значения функции в критических точках

; .

2. Вычислим значения функции на концах отрезка [– 4, 4].

; .

3. Сравнивая вычисленные значения функции, находим, что наибольшее значение функции на отрезке [– 4, 4] равно 40 и достигается в критической точке , а наименьшее значение равно –41 на конце отрезка, в точке .

Ответ: ; .

Задача 6. Вычислить предел , если:

y = ; a = – 5.

Решение

При числитель и знаменатель данной дроби стремятся нулю, т.е. вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа и мы можем применить правило Лопиталя (16).

Вычисляя предел по правилу Лопиталя, получим

.

Ответ: .