5.5. Оптимизация процесса проектирования систем с линейной структурой при неполной информации

Рассмотрим систему с линейной структурой, элементами которой являются подсистемы (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Вид системы с линейной структурой при

Каждая подсистема может быть реализована на основе одного из вариантов , характеризующихся показателями и надёжностью .

Обозначим через вариант построения системы из множества . Если - количество элементов множества , то число вариантов реализации системы соответствует .

Пусть на показатели системы наложены ограничения

.

Тогда задача оптимизации процесса проектирования системы сводится к следующей постановке

, (5.18)

, (5.19)

т.е. из конечного множества вариантов необходимо выбрать вариант , обеспечивающий максимальное значение надёжности (5.18) системы при наличии ограничений (5.19).

Подобная постановка свойственна, например, задаче оптимизации процесса формирования программного обеспечения информационной системы, реализующей последовательную процедуру принятия решений. В этом случае значения ограничений могут определяться временем решения функциональных задач, возложенных на информационную систему, объёмом оперативной памяти, затратами на создание системы.

Методика решения задачи. Для решения задачи оптимизации (5.18), (5.19) воспользуемся методом последовательного анализа и отсева вариантов без пошагового конструирования решения (МПА) [Михалевич В.С., 1983]. Идея метода состоит в отсеве заведомо неперспективных вариантов из множества последовательно по каждому из ограничений. После исчерпания таких возможностей, осуществляется переход к отсеву вариантов по критерию (5.18) при некотором заданном его пороге, а затем вновь к отсеву вариантов по ограничениям (5.19). Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется несколько вариантов построения информационной системы, из которых по критерию выбирается оптимальный.

Рассматриваемый метод МПА предполагает выполнение следующих действий:

1. Отсев вариантов по ограничениям.

1. Для некоторого -го показателя (первоначально =1) определить значения

.

2. Произвести отсев заведомо неперспективных вариантов в соответствии с правилом:

исключить вариант построения подсистемы , если

.

3. Повторить этапы 1.1, 1.2 для всех показателей . Этот процесс повторяется до тех пор, пока при выполнении этапа 1.2 не будет отсеян ни один из вариантов. Перейти к отсеву вариантов по критерию (5.18).

2. Отсев вариантов по критерию (5.18).

1. Ввести порог по критерию (5.18)

,

где - минимальная и максимальная надёжность системы .

, ,

, .

Здесь - подмножество вариантов, оставшихся после отсева по ограничениям.

2. Произвести отсев вариантов по критерию:

исключить вариант построения системы , если

.

3. Перейти к этапу 1.1. Причём, при выполнении этапов 2.1, 2.2 использовать пороговое значение

.

Анализ производится среди оставшихся вариантов. Если при некотором значении по одной из подсистем не остаётся вариантов, то система в данных условиях не может иметь надёжность . Необходимо восстановить варианты отсеянные при пороге и продолжить отсев при

.

Имитационная модель оптимизации процесса проектирования системы. Пусть ряд показателей системы измеряются с погрешностью и являются случайными. Обозначим через их плотности вероятностей. В условиях неопределённости следует ожидать наличие подмножества перспективных вариантов, удовлетворяющих задаче (5.18), (5.19).

Для их определения воспользуемся принципами имитационного моделирования, которые реализованы в виде схемы (рис. 5.6)

Рис. 5.6. Структура имитационной модели оптимизации процесса проектирования системы. ТСД – таблица случайных данных; ФРИ – блок формирования результатов имитации; ИД – исходные данные; ОРИ – блок обработки результатов вычислительного эксперимента, а БИ – блок его организации.

Пусть на основе датчиков случайных величин получена таблица характеристик вариантов исследуемой системы . В данныз условиях при заданных ограничениях с помощью метода оптимизации МПА определим решение задачи (5.18), (5.19) – вариант и соответствующую ему надёжность системы

.

Организуем подобных вычислительных экспериментов и получим выборку результатов имитационного моделирования

.

Для выбора подмножества наиболее вероятных вариантов системы найдём среднее значение

и определим его доверительный интервал

при уровне значимости .

Здесь - оценка среднеквадратического отклонения .

Тогда вариант , если .

Предлагаемая методика формирования справедлива лишь для симметричных законов распределения . В противном случае рекомендуется построить оценку плотности вероятности и определить её моду . Оценка моды совпадает со средним значением , вычисленным по части выборки.

Пример:

Постановка задачи. Процесс принятия решений, для которого проектируется программное обеспечение, имеет линейную структуру (рис. 5.5).

Характеристика вариантов построения подсистем представлена в таблице 5.5.

Таблица 5.5

Разнообразие вариантов построения подсистем

Номер подсистемы	Номер варианта	Показатели									Показатель надёжности
	1		8		2		5		9
	2	9				3		9		10
	3	15				5		7		8
	4	12				4		8		7
	5	10				6		10		9
	1	5				4		2		10
	2	4				6		4		8
	3		1		7		5		7
	4	3				5		6		8
	5	7				3		3		9
	6	6				2		7		10
	1	7				10		1		10
	2	8				6		3		9
	3	10				4		2		8
	4	6				8		5		7
	5		5		5		4		10
	1		2		6		20		10
	2	4				10		25		8
	3	7				12		18		7
	4	5				9		15		9
	5	3				7		22		8
	6	8				11		17		9
	7	6				8		16		10

Для удобства и наглядности расчётов надёжность вариантов приведена к интервалу , что возможно путём логарифмирования критерия (5.18) и введения соответствующих коэффициентов. Тогда критерий (5.18) представляется в аддитивном виде

.

Решается задача

,

при

, , .

Решение задачи:

1. Найдём минимальные значения первого показателя

для каждой подсистемы, которые отмечены в таблице 5.5.

2. Провести отсев вариантов по для первой подсистемы. Для этого сформулируем соответствующее правило. Будем считать, что подсистемы реализованы на основе вариантов с минимальными значениями , т.е. , , .

Пусть, например, - время решения задачи -го этапа формирования решения. Тогда минимальное время решения задач будет равно

.

Поэтому вариант является заведомо неперспективным, если выполняется соотношение , , т.е использование варианта построения подсистемы приводит к превышению максимально возможному времени решения задачи 22.

Нетрудно заметить, что таким вариантом является , при котором

.

Строка, соответствующая неперспективному варианту, удаляется из таблицы 5.5.

По аналогии производится анализ по показателю вариантов построения подсистемы . Минимально возможное время решения этапов задачи

.

При этом критерий отсева вариантов

не выполняется для .

Поэтому на данном этапе работы алгоритма МПА отсев вариантов из не производится.

Из последующего анализа следует, что отсутствует отсев вариантов из и .

Таблица 5.6

Разнообразие вариантов построения подсистем

Номер подсистемы	Номер варианта	Показатели													Показатель надёжности
	1	8		2				5				9
	2	9	3				9							10
	4	12	4				8							7
	5	10	6				10							9
	1	5	4						2				10
	2	4	6				4							8
	3	1	7				5							7
	4	3	5				6							8
	5	7	3				3							9
	6	6		2		7							10
	1	7	10						1				10
	2	8	6				3							9
	3	10		4		2							8
	4	6	8				5							7
	5	5	5				4							10
	1	2		6		20							10
	2	4	10				25							8
	3	7	12				18							7
	4	5	9						15				9
	5	3	7				22							8
	6	8	11				17							9
	7	6	8				16							10

В результате переходим к таблице 5.6 и производим отсев вариантов по показателю (например, занимаемый вариантом объём оперативной памяти). Следуя рассмотренной методике, убеждаемся в отсутствии отсева вариантов по из их множеств .

Имеет место отсев варианта по показателю , так как

.

3. Повторить отсев вариантов по показателям , исключив вариант . При этом отсев вариантов не наблюдается. Этого следовало ожидать, так как исключение варианта не изменил минимальных значений . Перейти к отсеву по критерию (этап 4).

4. Определить пороговое значение

.

Здесь максимальная возможная надёжность системы =40, а минимальная надёжность

.

Тогда

.

Пусть подсистемы реализуются на основе максимально надёжных вариантов , т.е.

.

Воспользуемся критерием

для отсева оставшихся вариантов построения первой подсистемы. Такие варианты отсутствуют.

При данном пороге также не будет отсева оставшихся вариантов из множеств .

Поэтому повысим порог надёжности

,

при котором будут отсеяны варианты , , , с надёжностью равной 7.

5. Перейдём к отсеву вариантов по показателям (таблица 5.7)

Таблица 5.7

Разнообразие вариантов построения подсистем

Номер подсистемы	Номер варианта	Показатели																				Показатель надёжности
	1		8				2						5						9
	2	9				3						9										10
	5	10				6						10										9
	1		5		4									2						10
	2	4				6						4										8
	4		3		5						6										8
	5	7				3						3										9
	6	6					2				7										10
	1	7				10									1						10
	2	8				6						3										9
	3	10				4						2										8
	5		5				5			4										10
	1		2				6						20						10
	4	5				9									15						9
	5	3				7						22										8
	6	8				11						17										9
	7	6				8						16										10

По показателю будут отсеяны варианты =3 и =6, так как их использование в наилучших условиях построения других подсистем превышает пороговое значение .

По показателям и отсева вариантов не будет. Исключение вариантов =3 и =6 не влияет на минимальные значения . Поэтому переходим к отсеву по критерию.

6. Провести отсев по критерию при

.

При этом будут отсеяны варианты , , .

7. Отсев по . Будут отсеяны варианты , так как их использование приводит к превышению порога =22. По показателю отсеивается вариант .

Таблица 5.8

Разнообразие вариантов построения подсистем

Номер подсистемы	Номер варианта	Показатели																Показатель надёжности
	1		8				2				5				9
	2	9				3				9								10
	5	10				6				10								9
	1		5				4				2				10
	5	7				3				3								9
	1	7				10						1					10
	2	8				6				3								9
	5		5				5		4							10
	1		2				6				20				10

Так как в процессе отсева изменились минимальные значения , вновь перейдём к отсеву по показателям (таблица 5.8).

По показателю будут отсеяны варианты =5, =2, а по – вариант =5.

При этом не меняются минимальные значения .

Перейти к отсеву по критерию.

8. Отсев по критерию при

.

Нетрудно заметить, что будет отсеян вариант =1.

В результате анализа таблицы 5.8 можно выделить 2 варианта построения системы

,

с одинаковой надёжностью .