5.2. Оптимизация распределения ресурсов при неполной информации

Проблема распределения ресурсов часто встречается в экономических и технических системах. Например, распределение финансовых средств между регионами либо при выборе выпуска видов продукции на предприятиях. В энергосистеме подобная задача возникает при распределении нагрузки между тепловыми и гидроэлектростанциями в регионе. Актуальной является проблема распределения производства электроэнергии и пара между турбоэлектроагрегатами тепловой электростанции.

Пусть ресурсы, которые распределяются между объектами. Эффективность вложения ресурсов в -й объект задаются функцией . Имеются ограничения на ресурсы

. (5.10)

Необходимо определить оптимальные значения из условия

(5.11)

при ограничениях (5.10).

Вид функции неизвестен, но имеются выборки наблюдений .

Методика оптимизации распределения ресурсов.

1. Восстановить неизвестные зависимости по выборкам на основе непараметрической регрессии.

2. Для решения задачи

, (5.12)

,

,

использовать метод динамического программирования.

Идея метода состоит в замене задачи нелинейного программирования (5.12) на последовательность более простых задач поиска экстремума.

Обозначим через

значение критерия (5.11) при оптимальных значениях , и ограничениях (5.10).

Предположим, что известны оптимальные значения , и соответствующее значение критерия

.

Тогда

, (5.13)

т.е. при введённых допущениях задача сводится к поиску экстремума (5.13) по одной переменной .

Продолжая процедуру планирования целей, можно получить последовательность задач

,

.

3. Будем считать, что искомые переменные принимают целые значения .

С учётом обоснования, изложенного в п. 2, определим значения функции

(5.14)

и соответствующие им значения аргументов для каждого .

Таким образом, если на первые два объекта выделено ресурсов, то , – их оптимальное распределение.

4. По аналогии с п. 3, в результате решения задачи

при находятся оптимальные распределения ресурсов между первыми двумя объектами и третьим .

5. На заключительном этапе находятся оптимальное распределение ресурсов между первыми объектами и -м объектом путём решения задачи

.

6. Определить оптимальные значения , начиная с .

Для этого использовать ранее выполненные исследования.

Например, соответствует оптимальное распределение ресурсов и .

Пример

Постановка задачи. Условия распределения ресурсов

,

.

Значения принимают целочисленные значения из множества (0, 1, 2, 3). Функции эффективности вложения количества ресурсов в -й объект определяется табл. 5.2.

Таблица 5.2

Эффективность распределения ресурсов

0	0	0	0
1	0.1	0.2	0.1
2	0.2	0.4	0.4
3	0.4	0.4	0.5

Решение задачи. Определим эффективные варианты распределения ресурсов в количестве в два первых объекта в соответствии с процедурой

.

Результаты расчётов представим в виде табл. 5.3.

Таблица 5.3.

Результаты расчётов

	0	1	2	3
	0 (0, 0)	0.2 (0, 1)	0.4 (0, 2)	0.5 (1, 2)

Поясним пример формирования значения при . Поиск максимума будем осуществлять методом перебора значений .

Если , то в соответствии с табл. 5.2

.

Если , имеем

.

Если , получим

.

Если , имеем

.

Отсюда

и соответствует варианту распределения ресурсов , , который представляется в элементе табл. 5.3 в скобках.

Запишем процедуру распределения ресурсов при заданном значении между тремя объектами

.

Будем искать максимум путём перебора значений .

Если , то

.

Если , имеем

.

При , получим

.

Если , имеем

.

Отсюда максимальная эффективность распределения ресурсов , которая достигается значениями при и при .

Обратим внимание, что максимальное значение соответствует , . Поэтому оптимальное распределение ресурсов представляется значениями , , .