5. Уравнение нелинейного маятника при наличии внешней периодической силы.

Рассмотрим маятник, на который действует некоторая возмущающая сила, т.е. потенциал , - малый параметр

Уравнение имеет вид: ,

Аналитически можно показать, когда в этом случае будет хаос

При малых амплитудах колебания мятник можно считать линейным .

В этом случае спектр невозмущенного маятника состоит из одной гармоники с частотой . В общем случае из-за нелинейности частота зависит от энергии маятника, соответственно период тоже зависит от энергии, при стремлении, движение частицы, приближается к сепаратрисе, частота с ростом энергии уменьшается.

Если правая часть не равна 0, то накладывается еще волна E2,при этом

Будем рассматривать движение вблизи сепаратрисы.

Тогда полная энергия системы

Где

Энергия частиц . Изменение энергии частиц .

Запишем изменение энергии как работу в 1 секунду:

Вблизи сепарастрисы:

При приближении энергии маятника к сепаратрисе, частота стремиться к 0, а Т>>, где - период колебания линейного маятника.

Тогда , так как .

В результате такого движения частица очень бытро проходит почти всю область пространства и надолго застревает в Седловых точках сепарастрисы.

Такое движение можно рассматривать как движение под действием мгновенных толчков.

Тогда гамильтониан можно записать:

, где V(x)- некоторая функция.

Перейдем к новым переменным:

- частота нелинейных колебаний

=>

Т.к. ,

Тогда

=> Появилась периодическая составляющая.Это значит появилась возможность попадания в резонанс.

6. Перекрытие резонансов. Критерий стохастичности

Все возможные резонансы в системе определяются:

, где m=1,2,3..

В окрестности каждого резонанса можно построить фазовые траектории, при этом резонансным значения «действия» обозначается

Можно ввести фазу вблизи резонанса как:

Построим фазовые траектории для каждого резонанса.

Введем параметр

Если k>>1, тогда частица может одновременно находится в более 2х резонансах. Резонансы перекрываются, это приводит к стохастическому поведению.

=> регулярные траектории исчезают и происходит разрушение сеператрисы.

Параметр нелинейности, ширину сепаратрисы можно определить, если рассмотреть отдельные нелинейные резонансы

//в точке резонанса

Параметрический резонанс

Параметрический резонанс - возбуждение колебаний, наступающее в колебательной системе в результате периодических изменения величины какого-либо из энергоёмких параметров системы (т. е. параметров, от величины которых существенно зависят значения потенциальной и кинетической энергий и периоды собственных колебаний системы). Параметрический резонанс может происходить в любой колебательной системе, как в механической, так и в электрической, например при периодическом изменении длины математического маятника.

Параметрический резонанс наступает в случаях, когда отношение угловой частоты w₀ одного из собственных колебаний системы к угловой частоте w изменений параметра (w₀ / w) оказывается близким к n/2, где n = 1,2,3,...; тогда в системе могут возбудиться колебания с частотой, близкой к w₀ и точно равной w/2, либо w, либо 3w/2 и т.д. Параметрический резонанс наступает легче всего, а возникшие колебания оказываются наиболее интенсивными, когда w₀ / w = 1/2.

Классический пример параметрического резонанса в механической системе с распределенными параметрами - возбуждение интенсивных поперечных колебаний в струне, прикрепленной одним концом к ножке камертона (рисунок 1) путём периодического изменения её натяжения. Легче всего параметрический резонанс возникает, когда один из периодов собственных колебаний струны (её основного тона или какого-либо из гармоник) приблизительно вдвое больше периода колебаний камертона. При обычном же возбуждении вынужденных колебаний струны с периодом, равным периоду колебаний камертона, резонанс наступил бы всякий раз, когда период колебаний камертона совпадал бы с периодом одного из собственных колебаний струны. Таким образом, явление параметрического резонанса в этом отношении сходно с силовым резонансом при возбуждении вынужденных колебаний.

Параметрический резонанс от силового резонанса отличается формой резонансной кривой – в случае параметрического возбуждения колебаний резонанс наблюдается в строго ограниченной полосе частот (которая определяется значением n и амплитудой изменения параметра), в то время как при силовом воздействии на систему можно добиться существования колебаний на любой частоте.

Параметрическое возбуждение колебаний струны:

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса m, коэффициент упругости k и коэффициент затухания β. Если эти коэффициенты зависят от времени, и m = m(t),k = k(t),β = β(t), то уравнение движения имеет вид

Сделаем замену переменной времени t →τ, где dτ = dt / m(t), что приводит уравнение (1) к виду

Сделаем еще одну замену x(τ) → q(τ):

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида которое получилось бы из уравнения (1) при m = const.

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В случае периодической зависимости ω(t) уравнение (5) является частным случаем уравнения Хилла, а в случае гармонической зависимостиω(t) — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

1. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид

Где ω₀ — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты , постоянная — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что h > 0. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра ε, происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение x(t) неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

2. Рассмотрим случай, когда  , то есть уравнение (5) имеет вид

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой y = 2ω₀tε. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов h², происходит в случае, когда

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

Где , и  . В случае, когда  и ограничиваясь первым порядком разложения по h, получим, что

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний ω = ω₀ и её удвоенного значения ω = 2ω₀, — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

Параметрический резонанс имеет место, когда

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника ω₀, а ширина резонанса равна hω₀. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых , а лишь при тех . Т.о., при наличии трения

что позволяет надлежащим выводом параметров γ,ω₀, и h, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

39