5. Фазовая скорость линейных волн

Фазовая скорость определяется как скорость движения постоянной фазы.

Т.е. фиксируем:

(Если привязываемся к максимуму волны, то смотрим с какой скоростью движется max)

Фаза будет постоянной для наблюдателя, который двигается со скоростью , которая обеспечивает .

Пример: - Фазовая скорость э/м волны

Фазовая скорость имеет направление распространения волны.

Если среда с дисперсией, то фазовая скорость - функция волнового вектора

Фазовая скорость не переносит энергию, поэтому она может превышать , такие волны называют быстрыми волнами.

6. Дисперсия среды. Групповая скорость линейных волн

Обычно в реальных условиях происходит, что фазовая скорость волны зависит от волнового вектора. кроме того, даже самый монохроматический волновой источник дает нам конечный во времени импульс

Поскольку , то это обозначает, что каждая волна, которая заполняет этот импульс, будет двигаться со своей скоростью, это приведет к изменению формы импульса, т.е. фазы волн, которые заполняют эти импульсы, будут меняться, и форма импульса может измениться. Отсюда следует, что, если среда диспергирующая, то фазовая скорость волны может сильно отличаться от скорости переноса энергии импульса. Для диспергирующей среды можем считать, что частота .

(Обычно за обозначают половину или 1/е)

порядка 1/2

Пусть спектральная функция имеет достаточно острый вид.

Разложим функцию частоты вблизи центральной волны в ряд Тейлора:

(1)

Решение волнового уравнения:

(2)

(1)->(2)

Заменим

Огибающая волна несет энергию. Несущая часть распространяется с фазовой скоростью

Максимум огибающей части: из уравнения

Причем:

7. Связь фазовой и групповой скорости линейных волн

Групповая

Фазовая

8. Стоячие волны

Пусть

Отраженная:

Складываем:

Получаем:

cos - уравнение стоячей волны

В отличии от бегущей волны, в каждой точке которой может быть любое значение, в точках - узлах всегда будет ноль

Фазовой скорости нет.

Групповая скорость = 0,т.е. нет переноса вещества.

Энергия только может запасаться в виде амплитуды стоячей волны.

2. Нелинейные волновые уравнения.

   1. Определение. Примеры некоторых нелинейных уравнений

Пусть задано исходное волновое уравнение

Рассмотрим основные типы нелинейных волновых уравнений.

Тогда стационарной волной называют такое его решение, которое зависит от координаты и времени через переменную .

Перепишем уравнение в операторном виде:

Таким образом, для данного уравнения существует два общих решения.Рассмотрим один из сомножителей:

Общее решение этого уравнения: =.

(Уравнение описывает паводковые волны, волны химических реакций, в ледниках и т.д.)

Перейдем к нелинейным задачам. пусть скорость зависит от u, тогда

, где v-скорость распространения волны есть функция локального возмущения.

Несмотря на кажущуюся простоту общий вид решения такого уравнения не существует.

Уравнение относится к классу квазилинейных уравнений. (Оно квазилинейно, т.к. нелинейно относительно u и линейно относительно производной).

Одним из простейших модельных уравнений, описывающее нелинейные волны в средах с дисперсией является уравнение Кортевега-де-Вриза (КВД).

Оно описывает нелинейные колебания в средах с дисперсией.Изначально это уравнение использовали для изучения волн на мелкой воде (глубина которой <длины волны)

Классический вид:

Существует его модификация:

Слагаемое отражает явление нелинейности, а --связано с дисперсией среды.

В физике эти уравнения описывают волны конечной амплитуды на больших интервалах времени.

Уравнение КДВ описывает нелинейные уравнения движения жидкости по трубам, распространение электромагнитного импульса по нервным волокнам человека, гидродинамические волны, магнитно-звуковые волны в плазме.

Другой тип уравнений, описывающий нелинейные волны—уравнение Бюргерса.

- коэффициент диффузии. Правая часть определяет затухание волн в среде.

Это уравнение применяется для описания турбулентного движения жидкости в трубе, описывает нелинейность электромагнитных волн (лазерных лучей в атмосфере, а именно самофокусировку).