4. Решение уравнения КдВ (общий вид)

Из выражения:

Сведем к уравнению Якоби. Полином имеет 3 корня:

P(u)>0

Согласно алгебраическим выражениям:

Чтобы существовало действительное физическое решение было, должно быть , т.е необходимо

Введем новую переменную =>

Сделаем замену переменных, т.к. , то производная g и u связаны линейным образом.

Замена:

Обозначим

Чтобы перейти к уравнению Якоби надо чтобы 1й множитель был равен 1. Заменим независимую переменную:

Решением этого уравнения является специальные функции - эллиптическая функция Якоби Sn(z,k)

Вернемся к ранним переменным

Полученная формула справедлива для любых граничных условий.

Используя асимптотическую формулу функции Якоби

1. k—> 1

2. при k—>0

Примем граничные условия на

В этом случае

=>

Решение:

U=

При общих граничных условиях

5. Законы сохранения

(1)

Проинтегрируем и учтем

Получим:

- инварианта

Эта величина называется интеграл движения или закон сохранения

С наличием законовм сохранения тесно связана устойчивая структура солитона.

Ни все нелинейные уравнения, имеющие решения в виде уединенной волны, обладают солитоным решением. А те уравнения, для которых можно записать бесконечное число интегралов движения обладают солитонным движением.

Любая Гамильтонова система имеет n-частиц и n- степеней свободы.

Если она имеет 3n интегралов движения, то она интегрируема, (т.е. имеет решение).

Интегралы движения получают умножением (1) на U и интегрированием:

Последнее слагаемое проинтегрируем по частям

Получим:

Запишем

Если перейти к функции W и разложить ее по параметру :

,

Где - не зависит от

И где ,,

Тогда из того что

Т.е. бесконечное количество интегралов движения можно найти

6. Нелинейные уравнения, обладающие солитонными решениями

1. Уравнение КДВ и его модификации.

2. Уравнение sin – Гордон:

Вид:

Имеет солитонное решение: , где

// - скорость

Знаки соответствуют повороту решения на угол .

Такой солитон называется КИНК.

«-» - носит название антикинк и движется налево.

Кинки движутся на встречу друг другу, т.е. это уединенные волны, сдвинутые на при

При столкновении они не аннигилируют и не осцилируют

Процесс столкновения пререводит систему из состояния в состояние . При этом энергия конечна

3. Нелинейное уравнение Шредингера с кубической нелинейностью

Это уравнение тоже имеет солитонное решение

Применение: распространение сигналов по оптоволоконным каналам.

Решение имеет вид:

Уравнение Шредингера имеет множество интегралов (законов сохранения) и поэтому при столкновении солитоны не меняют свои амплитуду и скорость

7. Нелинейные уравнения, не имеющие решений в виде солитонов.

Наиболее показательное уравнение - уравнение ( фи –четыре )

Это нелинейное уравнение применяется в физике элементарных частиц

, где - параметр.

Для стационарной волны это уравнение можно решить.

Решение для этого уравнения примет имеет вид:

, где , - некоторая постоянная фаза.

Данное решение имеет форму кинка и похоже на решение уравнения sin-Гордана, но в отличие от Кингов и sin-Гордана при столкновении кинка и антикинка эти решения также образуют Кинги, но их амплитуда модулирована. Следовательно, данное уравнение не имеет решения в виде солитонов.

при

при