1. Линейные волны

   1. Волновое уравнение. Бегущие волны

Пусть U – n-мерный вектор, описывающий некоторый волновой процесс и являющийся функцией координаты и времени. Тогда его эволюцию описывает волновое уравнение Даламбера:

(1)

- n-мерный оператор Лапласа, F(Р,t) – правая часть, некоторая функция, зависящая от координаты т. Р в пространстве и времени t , v (>0 )– скорость;

Начальные условия:

(2)

Если = const (не зависит от U), то уравнение линейное.

Рассмотрим одномерное уравнение U(x,t) = 0, т.е.

. (3)

Можно привести примеры волновых процессов, описываемых данным уравнением:

• колебания бесконечной струны, тогда: U(x,t) – отклонение от положения равновесия, - скорость распространения сигнала по струне , - натяжение струны, - линейная плотность,

• Электромагнитные колебания, . (Для воздуха и вакуума )

Метод Даламбера:

Уравнение характеристик: . (3.1)

Интегрируем, Введем новые переменные:

, -характеристики (решения (3.1))

тогда решением уравнения (3) будет любая дважды дифференцируемая функция от и : F(,).

Общее решение: , (4)

где - описывает расходящуюся волну от источника (расходящаяся волна), - описывает волну, приходящую в некоторую область (сходящаяся волна).

Решение (4) называется решением в виде бегущих волн.

v-фазовая скорость волны.

2. Преобразование Фурье.

Пусть U(x,t) –некоторый волновой импульс.

В линейном случае его можно представить в виде преобразование Фурье:

, где (5)

Фундаментальное решение уравнения будет записано в виде:

k - волновой вектор, - частота колебаний, A(k) – спектральные функции, т.е. это амплитуда волны с определенным волновым числом.

, .

В общем случае волновой вектор и частота связаны между собой. Эта связь осуществляется через дисперсионное уравнение:

(6)

Это уравнение, как правило, вытекает из граничных условий задачи. В самом простом случае частота и характеристики среды не зависят от k, то есть, нет дисперсии среды.

Если рассматривать ЭМ волну в неограниченном пространстве, то уравнение (6) преобразуется к следующему соотношению:

=. (7)

Т.к. параметры среды не зависят от k – дисперсии нет.

Амплитуда A(k) определяется через значение величины U(x,t) в начальный момент времени: =, тогда

, (8)

3. Монохроматическая волна.

Пусть начальное возмущение среды передается в виде гармонической волны.

, где A=.

Где - обобщенная функция, со свойствами:

Тогда - монохроматическая волна

В многомерном случае:

4. Характеристики линейных волн.

Реальная волна имеет следующие характеристики:

• Амплитуда А, для линейной волны это const

• Фаза волны ,

где k – волновой вектор

- частота волны

Фаза не имеет глубокого смысла. Имеет смысл разность фаз:

для одномерной волны , где - начальная фаза

Для линейных волн фаза является линейной функцией времени и координат.

Волна в общем случае будет записываться в следующем виде: .

Физический смысл имеет реальная часть: .

В общем случае - это вектор.

Если , то это поперечная волна (например, электромагнитная волна ).

Если , то это продольная волна (волны пространственного заряда, распространенные волны в веществе).

Волны, у которых могут быть плоскими (на плоскости), цилиндрическими (в цилиндрическом пространстве), сферическими(в сферическом).