Постановка задачи

Даны выборки . , — значения двух признаков исследуемого объекта. Задача состоит в изучении характера зависимости .

1. Изобразить точки () на диаграмме рассеяния. Найти все выборочные числовые параметры: , моду и медиану выборки по и по . Построить гистограммы по и по . Построить корреляционную таблицу.

2. Методом наименьших квадратов определить числа () такие, чтобы прямые (и ) наименее отклонялись от точек (). Найти коэффициент линейной регрессии .

3. Методом наименьших квадратов определить числа такие, чтобы парабола наименее уклонялась от точек () .

4. Сравните между собой результаты пунктов 2. и 3.

Теоретическая часть

В начале нашего исследования дадим определения основным понятиям, которые будут использоваться в данной работе.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Для того чтобы по данным выборки можно было судить об изучаемом признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли; то есть выборка должна быть репрезентативной (представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если её осуществлять случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности.

Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки, n_i / n = W_i – относительными частотами.

Случайной величиной называется величина, которая может принимать различные (случайные) значения. Она характеризуется несколькими величинами.

Математическим ожиданием называется величина, которая равна сумме произведений случайных величин на соответствующие вероятности.

Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Модой дискретной случайной величины называется такое значение случайной величины, которое имеет максимальную вероятность.

Медианой называют такое значение варьирующего признака, которое приходится на середину упорядоченного ряда.

Начальным моментом порядка случайной величины X называют математическое ожидание величины .

Центральным моментом порядка случайной величины X называют математическое ожидание величины:

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны частоте .

Гистограммой относительных частот называется диаграмма, на которой изображены столбцы, при этом ось Х — это интервалы, а ось Y — это относительная частота встречаемости:

Полигоном распределения называется ломаная, отрезки которой соединяют точки .

Корреляция (от позднелатинского correlatio – соотношение) в математической статистике – это вероятностная (статистическая) зависимость между величинами, не имеющая, вообще говоря, строго функционального характера.

Корреляционным моментом двух случайных величин называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции — числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, выражает их взаимосвязь. Коэффициент корреляции дает более точную информацию о характеристике и силе связи. Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение корреляционного момента к произведению среднеквадратических отклонений этих величин.

, где .

Корреляционное поле и корреляционная таблица являются вспомогательными средствами при анализе выборочных данных. При нанесении на координатную плоскость двумерных выборочных точек получают корреляционное поле. Для численной обработки результатов обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке корреляционной таблицы приводятся численности n_ij тех пар (X, Y), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной.

Функцией распределения называют функцию F(), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее.

Эмпирической функцией распределения называют функцию F^*(x), определяющую для каждого значения относительную частоту события .

,

где n_x — число вариантов, меньших ; — объем выборки.

Линейная регрессия. Одним из важнейших методов определения зависимости между X и Y является метод наименьших квадратов. Видя общее расположение точек, можно предположить, что эта зависимость линейная. Количество прямых, проходящих через заданную совокупность точек, бесконечно. Выберем оптимальную из них. Для этого суммарное отклонение между теоретическими и экспериментальными точками должно быть минимальным. Это отклонение мы найдем с помощью функции:

Метод нахождения минимального отклонения и есть метод наименьших квадратов. Это суммарное отклонение зависит от коэффициентов а и b функции Y, поэтому эти коэффициенты должны быть минимальными, то есть производная функции в этих точках равна нулю:

Найдя частные производные и приравняв их нулю, получим следующую систему уравнений:

Решив эту систему, мы найдем наилучший набор этих параметров. Эта теоретическая кривая с параметрами, которые определяются методом наименьших квадратов, и будет искомой линией — линией линейной регрессии.

Статистическая проверка статистических гипотез. Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид (назовем его A), выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону . Таким образом, в этой гипотезе речь идет о виде предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр равен определенному значению , выдвигают гипотезу: =. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагаемой величине параметра одного известного распределения.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно различать.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, то есть могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через ; ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Для поверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эту величину обозначают через или , если она распределена нормально, F или – по закону Фишера-Снедекора, T — по закону Стьюдента, — по закону «xи-квадрат» и так далее.

Статистическим критерием называют случайную величину K, которая служит для проверки нулевой гипотезы. Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением называют значение критерия, вычисленное по выборкам.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая – при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) k_кр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) или двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где — положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством , где — отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами ,, где .