Рівняння хвиль

Треба вивести функцію , яка б повністю описувала коливний процес хвилі,і яка має мати наступні властивості:

• якщо , то функція має перейти в рівняння коливань в даній точці тобто функцію типу А cos (ωt+φ), φ(r).

• якщо , то рівняння хвилі має дати миттєву картину коливного процесу у всьому просторі.

З цього аналізу випливає, що рівнянням хвилі має бути період, фактично як по часу так і по координаті. Виведемо рівняння плоскої хвилі

а) хвиля поширюється вздовж осі х

Fig 118

Коливання здійснюються за законом . Ми хочемо описати коливання в точці х. Коливання в точці х буде відставати: . Стверджуємо, що f(x,t) визначатиметься наступним чином:, - хвильове число. Якщо хвиля зворотня, то буде .

б) хвиля поширюється в довільному напрямі:

Fig 119

Описати коливний процес в межах коливної поверхні: - співпадають, . Проектуємо на напрямок нормалі і одержимо:

- рівняння плоскої хвилі, яка поширюється в будь – якому напрямку;

, - хвильовий вектор.

Рівняння сферичної хвилі:.

Хвильове рівняння

Хвильове рівняння - це таке диференціальне рівняння, розв'язком якого є рівняння хвилі.

- рівняння плоскої хвилі;

- рівняння сферичної хвилі.

Візьмемо другі похідні по всіх напрямках:

Одержали наступне рівняння: - хвильове рівняння.

Хвильове рівняння для електромагнітної хвилі

Виходячи з рівнянь Максвела, покажемо, що у випадку будь-якої зміни електричного чи магнітного поля в просторі може виникнути електромагнітна хвиля:

;

;

;

;

;

.

Розглянемо електронейтральне (незаряджене, тобто ) і непровідне середовище ():

Подіємо оператором ротора на два перші рівняння:

,

Введемо позначення:.

Ми отримали хвильові рівняння, з яких видно, що швидкість поширення електромагнітних хвиль залежить від електромагнітних властивостей середовища, причому, якщо і , то виходить величина - швидкість світла. - швидкість поширення електромагнітної хвилі в середовищі.

Плоска електромагнітна хвиля

, ,

,,

1. Електромагнітна хвиля — поперечна (коливання векторів і перпендикулярні до швидкості);

2. Покажемо, що Е перпендикулярне до Н

3. Покажемо, що хвиля — почергове перетворення енергії електричних коливань в енергію магнітних коливань і навпаки. Знайдемо зв'язок між амплітудами E₀ і H₀ і покажемо, що E і H коливаються в однаковій фазі, або зі зсувом фаз 2 πn. Розглянемо хвилю, що поширюється вздовж осі x:

Fig 120

Запишемо рівняння Максвелла

(припускаємо що середовище електронейтральне та непровідне) : .

Перепишемо перші два рівняння:

Хвиля плоска, а це означає, що значення векторів E і H в межах даної хвильової поверхні мають бути однакові, тобто всі похідні по y і по z в межах даної площини мають бути рівні нулеві.

Беремо діверґенцію і скорочуємо: .

Висновок: в напрямі осі х відсутні коливанняч векторів E і H, а це означає, що хвиля є поперечна. Коливаються лише z та y складові векторів.Маємо дві пари рівнянь:

1) ,

2) .

Ці чотири рівняння є попарно взаємозв’язані. Їх можна розв’язати окремо. Розглянемо першу пару рівнянь. Подіємо на кожне з них оператором :

.

Аналогічно для другої пари рівнянь: і .

Запишемо кінцеві розв’язки для цих рівнянь: 1) ; 2).

Fig 121

Тепер нам слід пошукати співвідношення між () та зв’язок між та . Для цього необхідно підставити розв’язки в рівняння, які ми отримали раніше: ; .

Отримуємо систему рівнянь:.

перемноживши навхрест дані рівняння:

Щоб виконувалась дана рівність, необхідне виконання наступної умови: . Тоді: (густина енергії магнітного поля рівна густині енергії електричного поля).

Тобто в процесі проходження хвилі є повне перетворення енергії електричних коливань в енергію магнітного поля і навпаки.Враховуючи, що , запишемо цю рівність у векторній формі: . Знайдемо загальну об’ємну густину енергії електромагнітного поля:.

Позначимо - вектор Умова – Пойтінга, фізичний сенс якого - густина потоку енергії, яку несе електромагнітна хвиля, тобто та енергія, яку переносить електромагнітна хвиля через одиничну площадку (перпендикулярну до швидкості поширення хвилі) за одиницю часу.