49

6. Електродинаміка і оптика.

6.1. Хвилі з довільним напрямом поширення

Н

X

а рис. показано дві декартові системи координат (X, Y, Z) і () зі спільним початком в нулю. Введена прямокутна система координат (ксі, ета, дзета), так, щоб напрям поширення хвилі співпадав з віссю . Тоді між ортами обох систем можливі наступні співвідношення:

,

,

.

Електромагнітне поле хвилі в такій системі координат буде виглядати так:

, . (6.1)

Введемо хвильовий вектор , напрям якого співпадає із напрямом променя, а довжина дорівнює хвильовому числу:

, (6.2)

де . Хвильовий вектор перпендикулярний хвильовому фронту. Для переходу до координат X, Y, Z можна записати наступну рівність:

,

де – радіус-вектор точки. Таким чином, е/м поле плоскої однорідної хвилі, поширюючись в довільному напрямі , визначається виразом:

, де . (6.3)

Оскільки , тому швидкість переміщення хвильового фронту (фазова швидкість) вздовж осей X, Y, Z рівна:

, , ,

де – показник заломлення середовища; с – швидкість світла в вакуумі; – швидкість світла в середовищі.

Цей самий результат отримаємо при розгляді

. (6.4)

Таким чином, швидкість переміщення хвильового фронту вздовж осей координат завжди більша або рівна фазової швидкості хвилі вздовж її напряму поширення.

Швидкість переносу енергії вздовж осей координат (групова швидкість):

, , , (6.5)

і ніколи не перевищує швидкості світла с.

В ізотропному середовищі без втрат завжди: , і є величина постійна для будь-якого напрямку.

6.2. Відбивання і заломлення е/м хвиль

Будемо розглядати гармонічний електромагнітний хвилевий процес у випадку, коли весь простір розділений площиною на два однорідних півпростори з різними властивостями. В першому середовищі задамо так звану падаючу хвилю , , яка поширюється із нескінченності до границі під деяким кутом, і припустимо, що існує відбита хвиля , , яка поширюється від границі. В другому середовищі допустимо існування одної пройденої хвилі , (заломленої хвилі), яка виходить від границі в нескінченність.

Задача полягає в тому, щоб при заданій падаючій хвилі підібрати такі комплексні амплітуди і напрями поширення двох інших хвиль, щоб компоненти і залишились неперервними на межі розділу. Для цього випадку граничні умови набудуть наступного вигляду:

та , (6.6)

де індекси 1 і 2 позначають два різних середовища.

6.2.1. Нормальне падіння

Розпочнемо з розгляду окремого випадку, коли падаюча хвиля поширюється вздовж осі Z, тобто по нормалі до границі розділу. Напрямки поширення відбитої і пройденої хвиль є колінеарні (див. рис.).

Для цього випадку можна записати вирази для комплексних амплітуд векторів і всіх трьох хвиль :

,

, (6.7)

.

Введемо наступні коефіцієнти:

,,

де – коефіцієнт відбиття, а – коефіцієнт проходження (заломлення).

Виходячи з цього, можна дати наступні визначення:

• коефіцієнт відбиття – це відношення комплексних амплітуд напруженостей електричного поля відбитої хвилі до падаючої, взятих на поверхні розділу середовищ.

• коефіцієнт заломлення – це відношення комплексних амплітуд напруженостей електричного поля заломленої хвилі до падаючої, взятих на поверхні розділу середовищ.

Оскільки значення цих коефіцієнтів є комплексними величинами, тому модуль коефіцієнта відбиття (заломлення) дає відношення амплітуд, а аргумент – різницю фаз відбитої (заломленої) і падаючої хвиль на поверхні розділу середовищ.

Тоді із (6.7) випливає, що: та .

Припускаючи в (6.7) Z=0, внесемо ці вирази в граничні умови і отримуємо:

  . (6.8)

  . (6.9)

Звідки можна записати:

. (6.10)

Розглянемо декілька варіантів поширення хвилі.

Випадок 1. Нехай або , тоді – випадок повного проходження електромагнітної хвилі.

Випадок 2. Коли W₁ та W₂ є дійсні, тоді можна спостерігати повне відбиття. Воно має місце, коли , а це, виходячи з модифікованої формули (6.10):, буде при умові, якщо або , а на практиці це означає, що або .

Розглянемо приклад ідеального провідника, для якого . Оскільки для ідеального провідника:, тоді . З формули (6.10) слідує, що: , тобто буде повне відбиття. При таких умовах виникає можливість утворення стоячої хвилі.