1 Формальное Определение Абстрактного Автомата

Математической моделью дискретного устройства является абстрактный автомат, определяемый как шестикомпонентный кортеж, или вектор

S = (Z, A ,W, δ, λ, a₁),

у которого:

Z={z₁,…z_f…z_F} - множество входных сигналов автомата (входной алфавит);

A={a₁,…a_m…a_M} - множество состояний автомата (алфавит состояний);

W={w₁,…w_g…w_G} – множество выходных сигналов автомата (выходной алфавит);

δ : A х Z  A – функция переходов автомата, реализующая отображение D_δ A х Z на A. Другими словами, функция δ некоторым парам состояние - входной сигнал (a_m, z_f) ставит в соответствие состояние автомата a_s = δ (a_m, z_f), a_s A;

λ : A х Z  W – функция выходов, реализующая отображение D_ A х Z на W, которая некоторым парам состояние - входной сигнал (a_m, z_f) ставит в соответствие выходной сигнал автомата w_g = λ (a_m, z_f);

a₁ A – начальное состояния автомата.

Под алфавитом здесь понимается непустое множество попарно различных символов. Элементы алфавита называются буквами, а конечная упорядоченная последовательность букв - словом в данном алфавите.

Абстрактный автомат имеет один вход и один выход. Автомат работает в дискретном времени, принимающем целые неотрицательные значения t = 0,1,2,… В каждый момент t дискретного времени автомат находится в некотором состоянии a(t) из множества состояний автомата, причем в начальный момент времени t(0) автомат может находиться в начальном состоянии a(0) = a₁. В момент t, будучи в состоянии a(t), автомат способен воспринять на входе букву входного алфавита z(t) Z. В соответствии с функцией выходов он выдает в тот же момент времени t букву выходного алфавита w(t) = λ (a(t)_, z(t)) и в соответствии с функцией переходов перейдет в следующее состояние a(t +1) = δ (a(t)_, z(t)), причем a(t +1) A, а w(t) W. Смысл понятия абстрактного автомата состоит в том, что он реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита Z в множество слов выходного алфавита W. Иначе, если на вход автомата, установленного в начальное состояние a₁, подавать буква за буквой некоторую последовательность букв входного алфавита z(0), z(1), z(2), … - входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита w(0), w(1), w(2), … - выходное слово. Каждому входному слову соответствует определенное выходное слово, структура которого определяется функциями переходов и выходов.

Таким образом, на уровне абстрактной теории понятие "работа автомата" понимается как преобразование входных слов в выходные слова. Структурной моделью нулевого уровня абстрактного автомата является модель, представленная на рисунке1.

S

Z W

Рисунок 1 - Структурная модель абстрактного автомата

(нулевой уровень)

В том случае, когда отображения D_ = D_ = A х Z, автомат называют полностью определенным или полным. Иными словами, у полностью определенного автомата области определения функций δ, λ совпадают с множеством A х Z – множеством всевозможных пар вида (a_m, z_f). У не полностью определенного, или частичного, автомата функции δ или λ определены не для всех пар (a_m, z_f) A х Z.

Состояние частичного автомата, соответствующее паре (a_m, z_f), на котором функция переходов не определена, называют неиспользуемым состоянием автомата. Остальные состояния называют используемыми.

Если на каком-либо используемом состоянии автомата не определена функция выходов, то говорят, что этому состоянию соответствует безразличное состояние выхода. В частном случае может быть безразличным не состояние выхода, а лишь один или несколько выходных сигналов, набор значений которых определяет данное состояние выхода .

Чтобы задать конечный автомат S, необходимо описать все компоненты вектора S = (Z, A ,W, δ, λ, a₁), т.е. входной и выходной алфавиты и алфавит состояний, а также функции переходов и выходов. Среди множества состояний может быть выделено начальное состояния автомата a₁, в котором автомат находится в момент t = 0.