2.3.2 Смешанные стратегии

Если игра повторяется неоднократно, то постоянное применение минимаксных стратегий становится неразумным. Если игрок 2 будет уверен в том, что на следующем ходу игрок 1 применит прежнюю стратегию, то он несомненно выберет стратегию, отвечающую наименьшему элементу в этой строке, а не прежнюю.

Следовательно, при неоднократном повторении игры обоим игрокам следует менять свои стратегии. Тогда возникает вопрос: каким образом их менять, чтобы в среднем выигрыш одного и проигрыш другого был аналогично одноходовой игре, ограничиваясь снизу и сверху соответственно?

Для ответа на этот вопрос введем вероятность (относительную частоту) x_i применения игроком 1 i-й стратегии, и y_j - вероятность применения j-й стратегии игроком 2. Совокупности этих вероятностей определяют векторы X = {x₁, х₂, …, х_т}, где и Y = {y₁, y₂, …, y_n}, где . Эти векторы или наборы вероятностей выбора чистых стратегий называются смешанными стратегиями игроков.

Смешанная стратегия игрока - это полный набор его чистых стратегий при многократном повторении игры в одних и тех же условиях с заданными вероятностями. Основными условиями применения смешанных стратегий являются:

• игра без седловой точки;

• игроки используют случайную смесь чистых стратегий с заданными вероятностями;

• игра многократно повторяется в сходных условиях;

• при каждом из ходов ни один игрок не информирован о выборе стратегии другим игроком;

• допускается осреднение результатов игр.

В частности, решение игры с седловой точкой дается векторами и , среди компонент которых , x_i = 0 (i ≠ i₀) и , y_j = 0 (j ≠ j₀).

Для получения ограничений на средний выигрыш или проигрыш рассмотрим математическое ожидание выигрыша первого игрока

. (2.5)

Если второй игрок выбрал некоторую смешанную стратегию , то первому игроку, естественно, считать лучшей ту смешанную стратегию , при которой достигается max М(Х; ):

.

Аналогично, при выборе первым игроком некоторой стратегии X' второму игроку следует выбирать стратегию такую, что

.

Понятно, что зависит от и зависит от X'. Перед каждым игроком, таким образом, возникает задача выбора оптимальной стратегии, под которой для игрока 1 понимается смешанная стратегия X^* , которая максимизирует математическое ожидание его выигрыша, для игрока 2 - стратегия Y^*, минимизирующая математическое ожидание его проигрыша.

Основная теорема теории игр (доказана фон Нейманом в 1928 году). Каждая матричная игра с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в области смешанных стратегий, то есть существуют стратегии X^* и Y^*, оптимальные для обоих игроков, причем,

max min M (X; Y) = min max M (X; Y) = M (X^*; Y^*).

Число V = M (X^*; Y^*) называют ценой игры.

Из основной теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену, и она лежит между нижней и верхней ценами игры

α ≤ V ≤ β. (2.6)

И если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то выигрыш (проигрыш) его остается неизменным независимо от тактики другого игрока, если, конечно, последний не выходит за пределы своих «полезных» стратегий, иначе выигрыш (проигрыш) возрастает.

Это означает выполнение неравенств

(2.7)

Следует отметить, что при выборе оптимальных стратегий игроку 1 всегда будет гарантирован средний выигрыш, не меньший чем цена игры, при любой фиксированной стратегии игрока 2 (и, наоборот, для игрока 2).

Активными стратегиями игроков 1 и 2 называют стратегии, входящие в состав оптимальных смешанных стратегий соответствующих игроков с вероятностями, отличными от нуля.