Примеры решения типовых задач

Задача 1. Вы имеете логарифмическую функцию полезности U(W) = lnW и текущий уровень вашего благосостояния W = 5000 руб. Возможны две ситуации:

1. С вероятностями р = 0,5, q = 0,5 можно выиграть и проиграть 1000 руб. Если вы можете купить страховой полис, который полностью устраняет риск, за 125 руб., купите его или предпочтете игру?

2. Вы играли в лотерею и проиграли 1000 руб. Согласились ли бы вы сыграть во второй раз, купив лотерейный билет за ту же сумму 125 руб.?

Решение.

1. Текущее благосостояние игрока W_тек = 5000 руб.

Таким образом, если игра состоится, то в ее итоге материальное состояние игрока будет иметь вид:

Согласно формуле (5.1) ожидаемая полезность игры будет равна:

Е(U(W)) = [(U(6000) + U(4000)] = [ln(6000) + ln(4000)] = (8,699 + 8,294) = 8,497 ютиля.

Ожидаемая денежная оценка игры:

Е(W) = (6000 + 4000) = 5000 руб.

Оценим уровень благосостояния W^*, который соответствует ожидаемой полезности игры E(U(W^*)):

E(U(W^*)) = lnW^* = 8,497 ютиля,

откуда, потенцируя, получаем:

W^* = е^8,497 = 4899 руб.^*

(^*4899 руб. - сумма, эквивалентная игре в том смысле, что полезность этой суммы и полезность игры равны между собой).

Следовательно, премия за риск, т.е. та максимальная сумма, которая может быть уплачена за отказ участвовать в игре, а получить наверняка без риска 4899 руб., равна

5000 - 4899 = 101 руб.

Это меньше, чем стоимость страхового полиса, равная 125 руб. Поэтому выгоднее не рисковать и страховой полис не покупать.

2. С учетом сказанного выше в результате факта уже проигранной суммы 1000 руб. текущее материальное благосостояние индивидуума может составлять:

Рассуждая так же, как и выше, и применяя новые указанные цифры материального благосостояния, будем иметь следующее: согласно формуле (5.1) ожидаемая полезность игры будет равна

Е(U(W)) = [(U(5000) + U(3000)] = [ln(5000) + ln(3000)] = (8,517 + 8,006) = 8,262 ютиля.

Ожидаемая денежная оценка игры теперь будет

Е(W) = (5000 + 3000) = 4000 руб.

Уровень благосостояния W^*, который соответствует ожидаемой полезности игры в новых условиях, определяется по формуле

E(U(W^*)) = lnW^* = 8,262 ютиля, откуда W^* = е^8,262 = 3870 руб.

Теперь премия за риск определяется по формуле

4000 - 3870 = 130 руб.

Эта сумма больше, чем 125 руб. - неизменная сумма страхового полиса - на 5 руб. Хотя ожидаемый выигрыш и незначительный, но во второй раз имеет смысл купить страховой полис, так как премия за риск (130 руб.) будет больше цены страхового полиса (125 руб.). Следовательно, можно рисковать, покупать страховой полис и участвовать в игре на заданных условиях.

Задача 2. Индивид имеет функцию полезности U(W) = . Его начальное состояние равно 4 руб. У него есть лотерейный билет, по которому он с вероятностью 0,5 может выиграть 12 руб. и с вероятностью 0,5 - 0 руб. Какова ожидаемая полезность игры? Какова наименьшая сумма, за которую он продал бы лотерейный билет?

Решение.

Если игрок принимает игру, то ожидаемая ее полезность согласно формуле (5.1) определяется как

Е(U(W)) = U(4) + U(16) =

Гарантированное благосостояние, которое имеет полезность Е(U(W)) = 3, отвечает формуле

E(U(W^*)) = 3 = , откуда W^* = 9.

Учитывая 4 руб., имеющиеся у индивида, он готов будет продать свой лотерейный билет за W^* = 9 - 4 = 5 руб. или дороже. В результате его гарантированное благосостояние будет иметь заранее определенную полезность, не меньшую чем E(U(W^*)) ≥ 3.

Задача 3. Пусть функция полезности Неймана-Моргенштерна для бизнесмена А имеет вид U = 10 + 2М, где М - денежный выигрыш (тыс. руб.). Он имеет возможность вложить 25 тыс. руб. в строительство бара и гриля. С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой капитал и с той же вероятностью 0,5 выиграет 32 тыс. руб. Требуется определить:

1. Следует ли инвестировать вообще?

2. Если будет сделано инвестирование, то какова будет его ожидаемая полезность?

Решение.

1. Если вообще не инвестировать, то выигрыша нет (М = 0) и полезность U(0) = 10 + 2 ∙ 0 = 10.

2. Если инвестировать, то с вероятностью 0,5 (по условию задачи) М = -25, т.е. U(-25) = 10 – 2 ∙ 25 = -40, и с вероятностью 0,5 М = 32 (также по условию задачи). Полезность U(32) оказывается равной U(32) = 10 + 2 ∙ 32 = 74.

Следовательно, ожидаемая полезность при инвестировании:

U_инв = (U(-25) + U(32)) = ((-40 + 74) = 17.

Таким образом, инвестировать следует, так как

U_инв = 17 > U(0) = 10.